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第 5 节 非线性方程求根 与线性方程相比，非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要复杂得多。对于一般的非线性方程f(x)=0, 计算方程的根既无一定章程可寻, 也无直接法可言。例如，求解高次方程 7x6-x3+x-1.5=0的根, 求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-cos(x)=0的零点。解非线性方程或非线性方程组也是计算方法中的一个主题。一般地,我们用符号f(x)来表示方程左端的函数，方程一般形式表示为f(x)=0 ，方程的解称为方程的根或函数的零点。 5.0 引言 非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。 通常，非线性方程的根不止一个，对于非线性方程，一般用迭代法求解。因此，在求解非线性方程时，要给定初始值或求解范围。 使用对分法的条件 　　对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。设函数f(x)在[a,b]上连续，且 f(a)f(b)0, 则在[a，b]上至少有一零点，这是微积分中的介值定理，也是使用对分法的前题条件。计算中通过对分区间、缩小区间范围的步骤有哪些信誉好的足球投注网站零点的位置。 5.1 实根的对分法 例 5.1 用对分法求解 在区间[1，2]之间的根。 解：(1) f(1)=-2.8,f(2)=0.3,可得有根区间在[a,b]=[1,2]。 (4)一直做到|f(xk)|ε（计算前给定的精度）或|a-b| ε时停止。 计算x1=(1+2)/2,f(1.5)=-0.45, 有根区间在[x1,b]=[1.5,2]。 (3)计算x2 =(1.5+2)/2, f(1.75)= 0.078125, 有根区间在 [x1,x2]=[1.5,1.75]。 对分法算法 While(|a-b|eps) x=(a+b)/2 f(x) 若(|f(x)|eps) x为解 若f(x)*f(b)0 修正区间为[x,b] 若f(a)*f(x)0 修正区间为[a,x] End while a b x1 x2 a b x* 对分法的算法简单，然而, 若 f(x)在[a,b]是有几个零点时，只能算出其中一个零点；另一方面，即使在 [a,b]上有零点,也未必有f(a)f(b)0 。这就限制了对分法的使用范围。对分法只能计算方程 f(x)=0 的实根。 每次缩小一倍的区间，收敛速度为1/2，较慢，使用条件限制较大不能保证 x 的精度。 ?2 x x* 对分法的限制 二分法求根举例 5.2 迭代法 f (x) = 0 x = g (x) 等价变换 f (x) 的根 g (x) 的不动点 思路: 迭代法步骤 迭代法的基本步骤如下： 1、给出方程的局部等价形式 2、取合适的初值，产生迭代序列 3、求极限 易知，该值为方程的根 一定收敛吗？ 迭代格式分析 例如，代数方程 的三种等价形式及其迭代格式 迭代格式 ，迭代格式 ,迭代格式 对于方程f(x)=0,构造的多种迭代格式 ，怎样 判断构造的迭代格式是否收敛？收敛是否与迭代的初值有关？ 不动点定理 　定理 定义在[a,b]上，如果 满足 （1）当有 ,有 （2） 在[a,b]上可导，并且存在正数L1， 使对任意的有 则在[a,b]上有惟一的点x*满足 ，称x*为 的不动点。而且迭代格式 对任意的初值 均收敛于 的不动点x* ，并有误差估计式 例5.2 求代数方程 ，在x0=2附近的实根。 解： 取x0=2,则x1=2.08008,x2=2.09235,x3=2.094217,x4=2.094494, x5=2.094543, x6=2.094550. 准确的解是x=2.09455148150 2）将迭代格式写为 迭代格式 不能保证收敛。 迭代法举例 ? 构造的迭代序列收敛。 不动点迭代举例 5.3 Newton迭代法 将f(x)在初值处作Taylor展开 取线性部分作为f(x)的近似，有： 若 ，则有 记为 类似，我们可以得到 x y x* x0 这样一直下去，我们可以得到迭代序列 Newton迭代的等价方程为： 所以 若f(x)在a处为单根，则 所以，迭代格式收敛。 例：用牛顿迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根, 精度要求?=10-5。 解：Newton迭代格式为 k xk ?(xk) |xk-xk-1| 0 1 2 3 4 0.5 0000-0000.0000000003 0.0000000003 0