MATLAB 三次样条MATLAB 三次样条.pdf

第12 章 三次样条 众所周知，使用高阶多项式的插值常常产生病态的结果。目前，有多种消除病态的方 法。在这些方法中，三次样条是最常用的一种。在MATLAB 中，实现基本的三次样条插值 的函数有spline，ppval，mkpp 和unmkpp 。在这些函数中，仅spline 在《MATLAB 参考 指南》中有说明。下面几节，将展示在M 文件函数中实现三次样条的基本特征。 12.1 基本特征 在三次样条中，要寻找三次多项式，以逼近每对数据点间的曲线。在样条术语中，这 些数据点称之为断点。因为，两点只能决定一条直线，而在两点间的曲线可用无限多的三 次多项式近似。因此，为使结果具有唯一性。在三次样条中，增加了三次多项式的约束条 件。通过限定每个三次多项式的一阶和二阶导数，使其在断点处相等，就可以较好地确定 所有内部三次多项式。此外，近似多项式通过这些断点的斜率和曲率是连续的。然而，第 一个和最后一个三次多项式在第一个和最后一个断点以外，没有伴随多项式。因此必须通 过其它方法确定其余的约束。最常用的方法，也是函数 spline 所采用的方法，就是采用非 扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第一个和第二个三次多项式的三阶导数相等。对最后 一个和倒数第二个三次多项式也做同样地处理。 基于上述描述，人们可能猜想到，寻找三次样条多项式需要求解大量的线性方程。实 际上，给定N 个断点，就要寻找N-1 个三次多项式，每个多项式有4 个未知系数。这样， 所求解的方程组包含有4*(N-1)个未知数。把每个三次多项式列成特殊形式，并且运用各种 约束，通过求解N 个具有N 个未知系数的方程组，就能确定三次多项式。这样，如果有50 个断点，就有 50 个具有 50 个未知系数的方程组。幸好，用稀疏矩阵，这些方程式能够简 明地列出并求解，这就是函数spline 所使用的计算未知系数的方法。 12.2 分段多项式 在最简单的用法中，spline 获取数据x 和y 以及期望值xi，寻找拟合x 和y 的三次样 条内插多项式，然后，计算这些多项式，对每个xi 的值，寻找相应的yi 。例如： x=0 : 12; y=tan(pi*x/25); xi=linspace(0, 12); yi=spline(x, y, xi) plot(x, y, ‘o ‘, xi, yi), title(‘ Spline fit ‘) （见图12.1 样条拟合） 这种方法适合于只需要一组内插值的情况。不过，如果需要从相同数据集里获取另一 组内插值，再次计算三次样条系数是没有意义的。在这种情况下，可以调用仅带前两个参 量的spline ： 图12.1 样条拟合 pp=spline(x, y) pp = Columns 1 through 7 10.0000 1.0000 12.0000 0 1.0000 2.0000 3.0000 Columns 8 through 14 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 Columns 15 through 21 11.0000 12.0000 4.0000 0.0007 0.0007 0.0010 0.0012 Columns 22 through 28 0.0024 0.0019 0.0116 -0.0083 0.1068 -0.1982 1.4948 Columns 29 through 35 1.4948 -0.0001 0.0020 0.0042 0.0072 0.0109 0.0181 Columns 36 through 42 0.0237 0.0586 0.0336 0.3542 -0.2406 4.2439 0.1257 Columns 43 throu