大一高等数学优秀复习资料.doc

大一高等数学优秀复习资料 高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） U?a,???x|x?a?? ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设f?x?为有界函数，g?x?为无穷小，则lim??f?x??g?x????0 （定理四）在自变量的某个变化过程中，若f?x? 为无穷大，则f?1?x?为无穷小；反之，若f?x?为无穷小，且f?x??0，则f?1?x?为无穷大 【题型示例】计算：lim??f?x??g?x???（或x??） x?x0 ?? U?a,????x|0?x?a??? 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列?xn?，证明lim?xn??a x?? ? 1．∵f?x?≤M∴函数f?x?在x?x0的任一去心邻域U?x0,?? n?m 则有lim x??qx?b0 n?m??0 ?f?x0? g?x0??0? gx0f?x??? g?x0??0,f?x0??0 lim??? x?x0gx?0 ?g?x0??f?x0??00?? f?x?0 （特别地，当lim?（不定型）时，通常分 x?x0gx0 【证明示例】???语言 1．由f?x??A??化简得0?x?x0?g???， ∴??g??? 2．即对???0，???g???，当0?x?x0??时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A x?x0 ○x??时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A x?? 【证明示例】??X语言 1．由f?x??A??化简得x?g???， ∴X?g??? 2．即对???0，?X?g???，当x?X时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A x?? 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数f?x?无穷小?limf?x??0 函数f?x?无穷大?limf?x??? 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解） 【题型示例】求值lim x?3 x?3 x2?9 高等数学期末复习资料 第1页（共18页） 【求解示例】解：因为x?3，从而可得x?3，所以原 x?3x?311 ?lim?lim? x?3x2?9x?3x?3x?3x?3x?36 x?3 其中x?3为函数f?x??2的可去间断点 x?9 式?lim 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： ?2x?3? 解：lim??x??2x?1?? x?1 ?2x?1?2? ?lim??x?? ?2x?1? 2x?12 ??x?1?22x?1 x?1 2?? ?lim?1??2x?1?? ?2x?1? 2 x?1 2?? ?lim?1??2x?1?? ?2x?1? 2x?12x?1 ??22?? ?lim??1???2x?1????2x?1?? ??? ??x?1?? ? ?2?lim???x?1?? ?2x?1???2x?1 ??x?1? x?3???x?311 ?lim?lim? 解：lim2 x?3x?9L?x?3x?32x6 ?x2?9?? ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数f?x?是定义域上的连续函数，那 00 ? 2?? ??lim?1? ?2x?1???2x?1????e 2x?1??? 2x?12 ???? 2x?1????2x?1 lim ?2 ?e ?2x?2? lim?? 2x?1? ?e1?e ??x???f?lim??x?? 么，limf?????x?x0?x?x0? 【题型示例】求值：lim x?3 x?3 x2?9 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1?U)1． U ~?e?1?2．U~1?cosU （乘除可替，加减不行） ln?1?x??xln?1?x?【题型示例】求值：lim 2x?0x?3x 【求解示例】 ln?1?x??xln?1?x?解：因为x?0,即x?0,所以原式?limx?0x2?3x ?1?x??ln?1?x??lim?1?x??x?limx?1?1?limx?0x?0xx?3x?0x?3xx?33第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★） x?x0? 【求解示例】x?3 ??1 2 2 第六节 极限存在准则及两个重要极限 ○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：lim∵?x??0, sinx ?1 x?0x sinx??? ?1 ?，sinx?x?tanx∴limx?0x?2? lim1x1x?0 lim?lim??1 x?0sinxx?0sinx?si