p-级数与交错p-级数的和p-级数与交错p-级数的和.ppt

四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012 p-级数与交错 p-级数的和 蜀南竹海 2012.5.1 提 要 当 p1时 p-级数收敛，相应的交错 p-级数绝对收敛。 那么它们的和之间有什么关系？ 能否由 p-级数的和推导出相应的交错 p-级数的和？ 本课件给出相应的结果，并举例说明。 所有例子都用数学软件Maple给予了验证。 先看一个简单的例子 p:=2: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity); Maple check 用同样的方法可以解一下问题： 以下我们给出一般的结论 注1 当 p1 是偶数时，p-级数的和有精确表达式 （设 p=2m 是偶数）： 其中B2m是伯努利数（见：Bernoulli number） 见维基百科：Riemann zeta function p:=2: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity); Maple check: p:=4: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity); Maple check: p:=8: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity); Maple check: 注2 当 p1 不是偶数时，p-级数的和没有精确表达式，只能用zeta函数表示为ζ(p) 或用近似值表示。 四川大学数学学院 徐小湛 30 May 2012