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【精选】14.2 周期函数的付里埃级数展开(1-19)
§14.2 周期函数的付里埃级数展开
1º周期2 函数的付里埃级数
设f (x) 是R 上以2 为周期的函数
问题 如果成立
f (x ) a0 (a cosnx b sinnx) (1)
n n
2 n 1
则 an ? , bn ?
设f (x) 在 [ , ] 上可积
在(1) 式两边乘coskx , 并从 到 积分, 得
a0
f (x ) coskxdx [ (an cosnx bn sinnx)]coskxdx
2 n 1
a0
coskxdx [an cosnx coskxdx bn sinnx coskxdx]
2 n 1
1
如果k = 0 , 则 f (x )dx a a f (x )dx
0 0
如果k 0 , 则
2
f (x ) coskxdx a cos kxdx a
k k
1
ak f (x ) coskxdx , k 1,2,
再在(1) 式两边乘sinkx , 并从 到 积分, 得
a0
f (x ) sinkxdx [ (an cosnx bn sinnx)]sinkxdx
2 n 1
a0
sinkxdx [an cosnx sinkxdx bn sinnx sinkxdx]
2 n 1
2
b sin kxdx b
k
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