【精选】2-6向量范数与矩阵范数的相容性.ppt

矩阵论教程A 矩阵论教程A 哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队 Department of Mathematics, College of Sciences 书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取 使用教材 《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012 其他辅导类参考书（自选） 课 程 要 求 作业要求 矩阵论网站 / 授课预计 (10学时) 1 2 3 4 第二章 内积空间与赋范线性空间 欧氏空间与酉 空 间 标准正交基与向量的正交化 正交子空间 酉(正交)变换与正交投影 5 向量范数与矩阵范数 6 向量范数与矩阵范数的相容性 教 学 内 容 和 基 本 要 求 2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基； 3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质； 1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念； 在矩阵范数中,相容性 尤为重要，那么 矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？ 若 是 上的矩阵范数， 是 上的向量范数，由于 仍是 上的向量， 所以： 设 是 上的矩阵范数， 是 上的向量范数。如果对任意的 都有： 则称矩阵范数 与向量范数 是相容的 定义1 向量范数与矩阵范数的相容性 §2.6 例1 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。 证明：设 ， 例2 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。 证明：设 ， ||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即 因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。 对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵范数？ 任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？ 给定 上的向量范数 ， 定义 则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数，称 为由向量范数 导出的算子范数或从属于向量范数 的矩阵范数 从属于向量范数的矩阵范数 定理1 定理1表明，由给定的向量范数按照上式定义的实值函数是一种矩阵范数，它与已给的向量范数是相容的。 证明 (1) 当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量 x ，使 Ax≠0 ，从而有 即||A||满足正定性；另外，显然||A||=0当且仅当A=0。 (2) 对任意的常数k∈C， 即||A||满足齐次性。 (3) 对任意的方阵A，B∈Cn×n， 即||A||满足三角不等式。 (4) 对任意的方阵A，B∈Cn×n， 即||A||满足相容性。 上述定义的实值函数||A||是矩阵A的范数。 再证||A||与|| x ||v的相容性。 由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不同的计算公式。 定理2: 设 是 上的向量范数,则 (1) 都是由 诱导出的算子范数 (2) 证(1) 令 (2) 显然 由(1)可知， 故有， 例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n) 列模和之最大者：列和范数 为从属于向量2-范数的矩阵范数，也称谱范数。 为A的最大正奇异值。 (3) 为从属于向量∞ – 范数的矩阵范数 (2) 为从属于向量1 – 范数的矩阵范数 (1