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【精选】8 用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程
§9 用常数变易法求解 二阶非齐次方程 基本思想： 解方程 Euler Equation： * * Dec. 20 Mon. Review 特殊情形 1) . 当 不是特征根时， 则特解具有形式 2. 当 是特征根时， 则特解具有形式 对应齐次方程的通解 例 求 的通解； 若已知齐次方程 的一个不恒为零的解 hw：p301 5,8. §9 欧拉方程 Euler Equation 欧拉方程 常系数线性微分方程 欧拉方程的算子解法: 则 计算繁! 则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程: 例1. 解: 则原方程化为 亦即 其根 则①对应的齐次方程的通解为 特征方程 ① ① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 设特解: 代入①确定系数, 得 例2. 解: 将方程化为 (欧拉方程) 则方程化为 即 ② 特征根: 设特解: 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为 例3. 解: 由题设得定解问题 ③ 则③化为 特征根: 设特解: ④ ⑤ 代入⑤得 A＝1 得通解为 利用初始条件④得 故所求特解为 hw：p319 2,4. 一类特殊变系数非齐次线性微分方程 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程. 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同． 令 将方程转化为常系数微分方程。 将自变量换为 用 表示对自变量 求导的运算 上述结果可以写为 将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量 的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后， 把 换为 ， 即得到原方程的解. 一般地， 例 求欧拉方程 的通解． 解 作变量变换 原方程化为 即 或 (1) 方程(1)所对应的齐次方程为 其特征方程
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