【精选】§2.2 常微分方程在常点邻域的级数解法.pdf

§2.2 常微分方程在常点邻域的级数解法 上一节利用分离变量法，将球坐标系和柱坐标系下的偏微分方程分别转化为几个常微 分方程，但还有如下几个常微分方程的解并没有求得： 1、连带勒让德方程 ( ) ⎡ 2 ⎤ d ⎡ 2 dy x ⎤ m ( ) ( ) ( ) 1−x + l l +1 − y x 0 dx ⎢⎣ dx ⎦⎥ ⎢⎣ 1−x 2 ⎦⎥ 2、勒让德方程 d ( ) ⎡( 2 )dy x ⎤ ( ) ( ) 1 x + +1 0 dx ⎢⎣ − dx ⎦⎥ l l y x 3、m 阶贝塞尔方程 x 2 d 2 y +x dy +(x 2 −m2 )y 0 dx 2 dx 4 、m 阶虚宗量贝塞尔方程 x 2 d 2 y +x dy −(x 2 +m2 )y 0 dx 2 dx 5、球贝塞尔方程 d ⎛ 2 dR ⎞ [ 2 2 ( )] ⎜r ⎟+ k r −l l +1 R 0 dr ⎝ dr ⎠ 这些方程与我们在高等数学中所学习的常微分方程有很大区别，方程各项系数是变化 的。 一 、常点邻域常微分方程的级数解法 二阶线性齐次常微分方程的一般形式可写为 ⎧d 2 y dy + ( ) + ( ) ⎨⎪dx 2 p x dx q x y 0 （1） ⎪ ( ) ( ) y x 0 c0 y x 0 c1 ⎩ 其中，函数 ( ) ( ) p x , q x 在x x 0 处是解析的，称此点为方程的常点。 解的存在性和唯一性定理： 设函数 ( ) ( ) p x , q x 在圆域 x −x 0 R 内是解析的，则在此圆域内上述方程存在唯一的满 ( ) 足条件的解析函数y x 。（此定理不作证明） 求解方程（1）的大致思路： 因为函数 ( ) ( ) ( ) p x , q x , y x 在 x −x 0 R 是解析的，因此可以展开泰勒级数。 为简便起见，我们取x0 0 ，即在x 0 的临域内展开泰勒级数 ∞ ( ) n p x ∑a x n n 0 ∞ ( ) n q x ∑b x n n 0 ∞ ( ) n y x ∑c x n n 0 代入上述二阶常微分方程 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ( ) n−2 n n−1 n n n n −1 c x + a x nc x + b x c x 0 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n n n n n n 0 n 0 n 0 n 0 n 0 因为上式对于任意x n ( ) 恒