2009年普通高等学校招生全国统一考试试题汇编数列部分.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试试题汇编数列部分 1．（全国1/20）在数列中， . （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 解:：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: () （II）由（I）知, = 而,又是一个典型的错位相减法模型， 易得 = 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 2．（全国1/14）设等差数列的前n项和为.若=72,则= . 解: 是等差数列,由,得 . w.w.w.k.s 3．（全国2/14） 设等差数列的前项和为，若则 . 解析：由得，即 4．（全国2/19）设数列的前项和为 已知 （I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。 5．（山东20）等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数的图象上。 （Ⅰ）求r的值。 （Ⅱ）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立 解：:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为, （2）当b=2时，, 则,所以 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边= 所以当时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 6．（北京14）已知数列满足：则________；=____________。 【答案】1，0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得，. ∴应填1，0. 7．（北京20）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。 （I）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明：，且 （Ⅲ）证明：当时，成等比数列。 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. （Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P. 由于都属于数集， ∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，∴，故. 从而，∴. ∵， ∴，故. 由A具有性质P. 又∵， ∴， 从而， ∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即， ∵，∴，∴， 由A具有性质P. 由，得，且，∴， ∴，即是首项为1，公比为成等比数列..k.s.5. 8．（湖北15）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。 【答案】4 5 32 【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故 ①当仍为偶数时， 故 ②当为奇数时， 故得m=4。 （2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数 ，所以=1可得m=5 9．（湖北19）已知数列的前n项和（n为正整数）。 （Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。 解析：（I）在中，令n=1，可得，即 当时，， . . 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是. (II)由（I）得，所以 由①-②得 于是确定的大小关系等价于比较的大小 由 可猜想当证明如下： 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。 （2）假设时 所以当时猜想也成立 综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有 证法2：当时 综上所述，当，当时 10．（福建3）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 A．1 B C 2 D 3 【答案】 C 11．（福建15）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.5 12．（广东