交比(射影几何)交比(射影几何).ppt

交比 一、点列中四点的交比 1. 定义 交比 — 最根本的射影不变量 定义. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 ? P2, 其齐次坐标依次为a, b, a+?1b, a+?2b, 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比, 其定义为 (1) 称P1, P2为基点偶, P3, P4为分点偶. 定理1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+?ib ( i=1,2,3,4 )，则有 (2) 证明. 以P1, P2,为基点, 参数表示P3, P4. 设 a+?1b=a, a+?2b=b. 从中解出a, b, 得 于是, P1, P2, P3, P4的坐标可表示为 即 由交比的定义, 有 注 定理可以作为交比的一般定义. 交比 2. 性质 (1) 交比组合性质 定理2 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序时, 交比值变化规律如下： 推论 由定理2, 相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值： 不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！ 交比 (2) 交比的初等几何意义 如果限于通常平面, 则(2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离, 即 (4) 注：如果P4=P?, 而P1, P2, P3为通常点, 则可合理地规定： 于是有, (P1P2,P3P?)= (P1P2P3)为前三个通常点的简单比. 交比 3. 特殊情况 定理3 共线四点的交比值出现0, 1, ?三者之一?这四点中有某二点相同. 证明 根据定理1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1直接验证. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, ?. 4. 调和比 定义 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则称 推论1 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则此四点互异. 推论2 相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比?这四点的6个交比值只有3个： 点组P1,P2,P3,P4为调和点组 点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离 点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭 点P4为P1,P2,P3的第四调和点 交比 调和比是最重要的交比！ 对于(P1P2,P3P4 )= –1, 利用初等几何意义, 有 此时, 若P4=P?, 而P1, P2, P3为通常点, 则 这表示P3为P1P2的中点. 推论3 设P1, P2, P为共线的通常点，P?为此直线上的无穷远点，则P为P1P2的中点 交比 例1 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)= ?1. 由题设 已知四点相异 交比 此步不可省！若不共线则交比无定义！ 5. 交比的计算 (1) 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 i=1,2. 对于i=1, 有 对于i=2, 同理求得 . 于是， 交比 例3 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点，P3是斜率为1的方向上的无穷远点，且(P1P2,P3P4)=r，求P4的坐标。 解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)。设 则显然 由 可得 从而P4的坐标为(r,1,0). 注 若要求P1, 或P2的坐标, 则需先据交比性质交换点的位置, 使得交换后第1,2位置为已知点, 再计算. 交比 (2) 由交比求坐标 定理4 设Pi?l(P) (i=1,2,3,4)，并已知 还已知其中三点的坐标，则第四点的坐标可唯一确定。 推论4 设 为点列l(P)中取定的相异三点, P?l(P). 则 为点列l(P)与 之间的一个双射. 其中 交比 二、线束中四直线的交比 1. 线束的参数表示 设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p?S(p), 其坐标可表示为 称a, b为基线, ?为参数. 注1 这里a, b, p均表示直线的齐次坐标。容易看出 ?=0 ? a; ?=1 ? a+b; ?=? ? b 注2 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数结构，因此可由点列的交比对偶地得到线束的交比. 交比 定义3 设p1, p2,