交错级数交错级数.ppt

一、交错级数及其判别法 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 * * 首页 × 交错级数 绝对收敛级数及性质 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 §3 一般项级数 首页 × 定义 正、负项相间的级数称为交错级数． 例如级数 都是交错级数． 首页 × 定理12.11(莱布尼茨判别法) 如果交错级数 ∑(-1)n-1 un (un 0) 满足条件 ⑴ 数列 { un } 单调递减； ⑵ 则交错级数收敛． 并且余项满足 首页 × 证 设交错级数 的部分和数列为 {Sn }, 其奇数项子列为 {S2m-1 }, 偶数项子列为 {S2m }, 于是有 即数列 {S2m-1 } 单调减少, 又因 首页 × 即数列 {S2m-1 } 有下界, 从而极限 存在． 类似地对偶数项子列为 {S2m }, 有 即子列 {S2m } 单调增加． 首页 × 又因 即数列 {S2m } 单调增加有上界, 从而极限 存在． 于是 所以 故数列 {Sn } 的极限存在， 所以交错级数 收敛． 首页 × 因为有 所以 即交错级数的和不大于第一项的绝对值 u1 ． 由于 的余项 仍是交错级数，所以有 首页 × 例 下列交错级数都是收敛的： 首页 × 若级数 收敛，则称级数 绝对收敛． 定理12.12 绝对收敛级数一定收敛． 若级数 发散，而级数 收敛，则称 条件收敛． 首页 × 例 判别级数 的收敛性 . 解 故原级数绝对收敛. 首页 × 例 下列级数都是条件收敛 首页 × 绝对收敛级数的两个重要性质 1. 级数的重排 定义 把正整数列 { 1, 2, . . . , n , . . . } 到它自身的 一一映射 f : n → k(n) 称为正整数列的重排,相应地对 于数列 { un } 按映射 F : un → uk(n) 所得到的数列{ uk(n) } 称为原数列的重排,相应也称级数 ∑uk(n) 是级数 ∑un 的重排． 首页 × 定理12.13 设级数∑un绝对收敛,且其和等于 S 则 任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的和数． 注 由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也 不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当 重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数. 首页 × 2. 级数的乘积 设 为收敛级数，将（1）与（2）中每一项所有可能的乘积 列成下表： 首页 × 这些乘积 ui vj 可以按各种方法排成不同的级数，常用 的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加，于是有 和 首页 × 定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都 绝对收敛，则对（3）中所有乘积 ui vj 按任意顺序排列 所得到的级数 ∑wn 也绝对收敛，且其和等于 AB ． 首页 × 引理（分部求和公式）设 为两组 实数，若令 则有如下分部求和公式成立 证 以 分别乘以 整理后就得所要证的公式。 首页 × 推论 （阿贝耳引理）若 （1） 是单调数组； （2）对任一正整数 有 则记 时，有 证 由（1）知 都是 同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得 首页 × 以下讨论级数 的收敛性。 首页 × 定理12.15 (阿贝尔判别法) 若 { an } 为单调有界 数列，且级数∑bn 收敛，则级数∑ anbn 收敛． 定理12.16 (狄利克雷判别法) 若数列 { an } 单调 递减趋于零，又级数∑bn 的部分和数列有界，则级数 ∑ anbn 收敛．