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八年级上册知识 代数 实数 1.实数和数轴上的点的对应关系： 任何一个有理数，在数轴上都有一个惟一确定的点与之对应，但是数轴上的点并不都表示有理数，无理数也可用数轴上的点表示，由此可见，数轴上表示有理数的点是不连续的，而有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以数轴上的点和实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数， 2.实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 3.无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o等 4.算术平方根： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”读作“根号a”。说明：0的算术平方根是0，即=0。从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。 一般地，如果一个数x的平方等于a即x2=a，那么这个数x和它的相反数—X就叫做a的平方根，也叫做二次方根。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。 6.平方根的性质： 一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 注意的双重非负性： 0 8.立方根： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。表示方法：记作 9.立方根的性质： 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 10.开立方： 求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 11.确定平方根或立方根的大致范围 有些数的平方根或立方根不是有理数，而是无理数，这些数都是开方开不尽的数，我们可以借助平方运算或立方运算，通过两边夹遭韵方法估计它们的值所在的范围，例如要估算√43的大小，要求误差小于O．1．首先找出43邻近的两个完全平方数，如364349，则√36√43√49，即6√437，由此可见√43的整数部分应是6，然后再由6.52=42.25，6.62=43.56得42.254343.56，得6.5√436.6，从而知√43的十分位上的数应为5，即√43≈6.5或6.6． 对于含根号的数比较大小，一般可采用下列方法：(1)先估算含根号的数的近似值，再和另一(2)当符号相同时，把不含根号的数平方（或立方）和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，算术平方根（或立方根）越大；(3)若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小． 实数的大小比较与有理数的大小比较的原则是相同的．在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数大于零，零大于负数；两个负数进行大小比较时，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小；两个正实数的大小比较，一般采用作差法、作商法、作平方法等。 数轴法 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 计算法 直接求实数的值（或近似值），然后根据实数的性质（正数＞0＞负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小）进行比较。求值时一般将实数写成小数的形式。 特殊性质法： 利用某些数的特殊性质，如： （1）分母相同的两个正分数，分子大的分数较大；分子相同的两个正分数，分母大的反而小。 （2）若ab0，则0，（n为正整数）。 作差法： 设a、b是实数， 作商法： （1）对a0，b0，若a/b＞1，则ab；若a/b＜1，则ab；若a/b=1，则a=b。 （2）对a0，b0，若a/b1，则ab；若a/b1，则ab；若a/b=1，则a=b。 说明：（1）作差法是与0比较，作商法是与1比较。（2）作差法适用于任意两个实数的大小比较。而用作商法时，需分两正数比较和两负数比较两种情况。 绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 平方法：设a、b是两负实数，则。 14.算术平方根有关计算 含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。 性质：