高等数学课件（同济六版）- 高斯公式 通量与散度.pptVIP

第七讲 高斯公式 通量与散度 高斯公式 通量和散度 、高斯公式 、通量与散度 高斯公式 通量和散度 、高斯公式 、通量与散度 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω 上具有一阶连续偏导数,则有 定理 其中Σ是Ω的整个边界曲面的外侧， 或 是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦. 三重积分 曲面积分 高斯公式沟通了三重积分与的曲面积分的联系 高斯公式 格林公式 推 广 特 例 例1 例2 计算 其中Σ为锥面 介于平面 之间的部分的下侧 是Σ在点(x,y,z) 处的法向量的方向余弦. 计算 其中Σ为柱面 及平面 围成的空间闭区域Ω 的整个边界曲面的外侧. 例3 设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域Ω上具有一阶及二阶连续偏导数，证明 为函数v(x,y,z) 其中Σ是闭区域Ω的整个边界曲面， 沿Σ外法线方向的方向导数. 称为拉普拉斯算子. 高斯公式 通量和散度 、高斯公式 、通量与散度 高斯公式 通量和散度 、高斯公式 、通量与散度 通量 设有向量场 则积分 称为向量场通过曲面Σ指定侧的通量(流量). 其中P,Q,R均具有一阶连续偏导数, Σ是场内的一片有向曲面, 是Σ在点 (x,y,z)处的单位法向量, 例4 求向量场 穿过曲面 流向上侧 的流量, 为柱面 被平面 及 截下的有限部分. 其中