《用函数观点看一元二次方程》典型例题、习题精选.doc

《用函数观点看一元二次方程》典型例题、习题精选 典型例题 　　1．抛物线y = x2+2x?3与x轴的交点个数有(??????? ) 　　A．0个???????? B．1个????????? C．2个???????? D．3个 　　答案：C 　　说明：令y = 0，得x2+2x?3 = 0，∵Δ=22?4?1?(?1) = 80，即方程x2+2x?3 = 0有两个不等实数根，∴抛物线y = x2+2x?3与x轴有两个交点． 　　2．抛物线y = mx2?3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标为__________． 　　答案：(?，) 　　说明：因为抛物线y = mx2?3x+3m+m2经过原点，所以当x = 0时，y = 0，即0 = 3m+m2，解得m = 0或m = ?3，而当m = 0时原抛物线成为了直线，不合题意，因此m = ?3，抛物线为y = ?3x2?3x，不难求得该抛物线的顶点坐标为(?，)． 　　3．关于x的一元二次方程x2?x?n = 0没有实数根，则抛物线y = x2?x?n的顶点在(??????? ) 　　A．第一象限??????? B．第二象限???????? C．第三象限??????? D．第四象限 　　答案：A 　　说明：不难看出，抛物线y = x2?x?n的顶点横坐标为，且该抛物线开口向上，又因为一元二次方程x2?x?n = 0没有实数根，即抛物线y = x2?x?n与x轴没交点，因此，它的顶点只能在第一象限． 　　4．已知二次函数y = 2x2?mx?m2； 　　(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点； 　　(2)若二次函数与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标． 　　(1)证明：令y = 0，得2x2?mx?m2 = 0 　　∵Δ= (?m)2?4?2?(?m2) = 9m2≥0 　　∵不论m取何值，抛物线与x轴总有公共点． 　　(2)∵A(1，0)在抛物线y = 2x2?mx?m2上 　　∴0 = 2×12?m×1?m2 　　即m2+m?2 = 0，(m+2)(m?1) = 0 　　∴m1 = ?2，m2 = 1 　　∴B点坐标为(?2，0)． 习题精选 　　1．已知a?b+c = 0，9a+3b+c = 0，则抛物线y = ax2+bx+c的顶点可能在(??????? ) 　　A．第一或二象限??????? B．第三或四象限 　　C．第一或四象限??????? D．第二或四象限 　　答案：C 　　说明：由a?b+c = 0可知当x = ?1时，y = 0，即抛物线经过(?1，0)这一点，又由9a+3b+c = 0，知当x = 3时，y = 0，即抛物线还经过(3，0)，这样可以得到抛物线顶点的横坐标应该是[3?(?1)]÷2+(?1) = 1，因此，该抛物线的顶点不可能在二、三象限，只可能在一、四象限，所以答案为C． 　　2．抛物线y = ax2+bx+c与x轴的交点为(?1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y = ?2x2相同，则抛物线的解析式为(??????? ) 　　A．y = ?2x2?x+3???????? B．y = ?2x2+4x+5??????? C．y = ?2x2+4x+8??????? D．y = ?2x2+4x+6 　　答案：D 　　说明：由已知可设该抛物线的解析式为y = ?2(x+h)2+k，当x = ?1时，y = ?2(h?1)2+k = ?2h2+4h?2+k = 0，当x = 3时，y = ?2(3+h)2+k = ?2h2?12h?18+k = 0，可得16h+16 = 0，h = ?1，即?2?4?2+k = 0，k = 8，因此有y = ?2(x?1)2+8，即y = ?2x2+4x+6，答案为D． 　　3．已知抛物线y = ax2+bx+c(a0)过点(?1，0)，且满足4a+2b+c = 0，以下结论：①a+b0；②a+c0；③?a+b+c0；④b2?2ac5a2，其中正确的个数为(??????? ) 　　A．1个???????? B．2个????????? C．3个???????? D．4个 　　答案：B 　　说明：因为抛物线过(?1，0)，所以有a?b+c = 0，又满足4a+2b+c = 0，可知抛物线过(2，0)，因此，抛物线顶点横坐标则不难求得为0.5，又因为a0，抛物线开口向下，因此，当?1x2时，y0，当x = 1时，y = a+b+c0，而a?b+c = 0，所以有a+c0，则b0，而当x = 0时，y = c0，又?a0，所以?a+b+c0，②③正确；例如y = ?x2+x+2，满足a0，过点(?1，0)，且满足4a+2b+c = 0，但此时a+b = 0，b2?2