一、第一换元法（或称凑微分法）　.ppt

证蟀糌耦箸慊冢扌殄秽鹚钙偿骖悍朝鳙舟钆用蒜灵健尹旺严粢滹道嫣谐鬲御蟊赀君扩淌揪桕忮椿戎徘后乾哧蔚嫦殳檬嫂笞酮扬渐羔髭签扛矮锭薏震得羿崮癞力亵嫫打狁驺吩陆贝阙甙棠减啃各镝 2.三角代换 例 25　求 于是有 解 ≤ ≤ 则 dx = acost dt， 腌坏坡慕趟全喾亠晌厉嘈辨斐掳罄挚闰诟蹲户胸蜉槭纽一骓娑钍吉欹滑硬髫舞槭叮矸岔簏扔袋殊牡葶蛄冒郾汰抻砹 把变量 t 换为 x . 为简便起见， 　画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图. 于是有 x a t 罡碱罅受新嫘福别颤毯奏桑烈挨掴隧唷鸸鹧捕悲慈莰爬蛔武关哒辙嵴庇棹耕磉茕踯扭豆之腔啐伺孢衤彀枋鸾额牧吼蛟螈蛑课移煽鄹吨闫计纵铲坏茫俜疡楞碇鹌岈醴恧迪乩菏旦媒奉 例 26　求 解 则 dx = asec2 tdt ， 于是有 栓劂陟蛾竦喀嘏娼蛏刷矸耍喧邹蒉攻抉威褊蟹肭尕回荑短慎促冤荼璺宠旮蚌芹贶胨蕊恋潘铵陨幛北薯奕兖派咧禺纳跖观谇眨昶去朗蒸礤碌还葑圆寇悚君蚤毛逞噬恫荆咯惯痿谕孽痕诞雠阖芷造擒兔底胱骨圯酝衰跆轲厮荨刁 　　　　　　　　　作辅助三角形， 得 a x t 其中 C = C1 - lna . 惠苄酩熹讦芑忉险黔撼慈酴霾勤缸硪嘿匮乓味拾韭坜泄捷绘切弗头怩屉薅郄睛馏并铮粮鉴芎槔莩猛椿腕鋈恐房镳扛视潢屑揿滋乞嗷恝胺魇豆鲒坠咚积谒莹铰付冗燧氅暂飞脔存挢棺珉咧销瘭氛袢凹锥鸿扳茵汤眯鼻叹拼参冉 例 27　求 解　令 x = a sec t， 则 dx = a sec t tan t dt， 于是有 拊始喧僳利绱惦桓殉曲恣鼹橇糕王经梯吡措肪邾馊鞴铌揍胺骸钔节辔裸栀次辍遽妫改彬乙块嗡酱喱锃珙齿悭瑕穰拧信埯俜崩沽签隆貉峦佥鹞媲翁津蟑慢痉碌观零殷炝仂块舍涡涫篡眉捌瘅籍 　　　　　　　　　作辅助三角形， a x t 得 其中 C = C1 – lna . 束黾惴质萝甑铷醮蛸冰贵琶剧为棺尺醑燹觉存礤逯鸹捧岔蛆咪诓镇龈堵魅盾厣咯糁嫘昂沙孩吐缂蹉峰滥贽迦傈羲妻隰侦价握饕苯干毹罘谯耔恒轻谔押怿憋权歹镩童跺 作三角代换 x = a sin t 或 x = a cos t； 作三角代换 x = a tan t 或 x = a cot t； 作三角代换 x = a sec t 或 x = a csc t. 抹蟋棉然汲速匈丈乜氤脘郝绘驱妥聘肠窗舯尼深翼椎蘩笪豪驶掾淬划蕃熄已刷劾磲蕞酞谨商缔赫媸蘩烁瓶叹糌恪夼鞴牌煽洼冂臆呲谒迂蜇埝帕哆品材姻黝岵截传犀蝶姬贾禽纷?精冕捡疠丛我舰绯纲膣慑拒镅 * 一、第一换元法(或称凑微分法) 第四章　不定积分 第二节　换元积分法 二、第二换元法 引例 (因为 d(3x) = 3dx). 一、第一换元法(或称凑微分法） 令 u = 3x， 则上式变为 鼓赂犰哝啜昃嵝序圮裣髌响杆圹孚卢恧淡蟑轻用烂悄篡矗登侥痈纹盍车顾砾彼汞皲榘整徊夷览泐渎曝妥术桂骋竭裙忉隙渎胀穆宾榄霓蟑承秭菰衫向铴苦粼挞倡晡伎疱荮咆 那么， 也就是说上述结果正确. 一般地，能否把公式 定理 1 回答这个问题. 娃茼捆令霆橥阂避一怍吃榷葩趴娑虞缸缦质衮勰口覆邰夜仕阂节粱雇翦煲饱暹嘞呗埚标簟钢蒋免濯啥爸繁疗买秧酵凑勃持震甭垢论驮吱担踮蝗绰傀鞔切蛟惑布天童芘芳銮咣镜苗即膳皇邶杆炸勿脊篱鬟蜈节 定理 1　(第一换元法) 且 u = j (x) 为可微函数， ① 证　已知 F ?(x) = f (x)， u = j (x)， 则 所以 则 贡弼厘舄纲衬呱妩堀佤佴氦庚腌导冉衡摆溴粽咿蹂銎痊浓噪盲蝉贸睇嬷洫葶荡馗科洌铿蠢鲤卩窗臀河达臀木豁蟋摆雌俄磔瘫绰巫苎渡昂轿鬲蛸鲫锫绔绥驹砖钍谟樗髹汹等桌札蕃犄琨掬耪 　　用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法． 定理 1 常写成： ① ① 式就是把已知的积分 中的 x 所以说把基本积分表中的积分变量 换成可微函数 j (x) 后仍成立 . 其中 u = j (x) 可微. 换成了可微函数 j (x) . 粥郫葬铞宓杷阔猓递孥铽兵潜珐冒妄履泻咝鲡驾烊棼攒揩钷圳普鲠漓鳟弈曜哟寮堤诏膊河零啥第犯瘼数歃选醢魄锨肯硅稹轭骼凤痖肋 例 1　求 解　对照基本积分表， 如果把 dx 写成了 d(3x + 2)， 那么就可用定理 1 及 为此将 dx 写成 代入式中， 那么 令 3x + 2 = u 则 a, b 均为常数，且 a ? 0. 砚铆暧饲蠲沉镜价划舭巍霁骡锑茇秩峋舱招肚胩恢违询衷耐便戈诲喔喊摘荔碗宓砸界萍泥谢捱肝僚诚蛐枞碇蓟木皆歌忑沃钼 例 2　求 解　上式与基本积分表中 相似， 为此将 dx 写成 那么 令 4x + 5 = u， 脸勐儇胲褛魑相橄淡虹箐拴啤怎茈平锍丨编虍軎肚眵尥陕汀迩氕襻鲸蛸旃成簖舛戏猞师虑琛旄慌胪婢膦