2012年.5.4.6.2.正规,正则,T3,T4空间.ppt

§6.2 正则，正规，T3 ,T4空间 定义6.2.1 设X是一个拓扑空间， . 若 ，则称U是集合A的一个邻域. 特别的，若U还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域. * * * * * * * 定义 6.1.1 X 是一个拓扑空间, 如果对于X中任意两个不同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另 一点,则称拓扑空间X 是一个T0空间. x y U V T0 空 间 定理6.1.1 拓扑空间X是一个T0空间当且仅当若x≠y,则 定义6.1.2 X 是一个拓扑空间,若X中任意两个不相同的点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是一个T1空间. x y U V T1 空 间 定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则下列条件等价： （1）X是一个T1空间； （2）X中每一个单点集都是闭集; （3）X中每一个有限子集都是闭集. Next th 定理6.1.3 设X是一个T1空间,则点 是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点， 即 是一个无限集. 定理6.1.4 设X是一个T1空间,则X中的一个由有限个点构成的序列{xi}收敛于点x当且仅当存在N0使得xi=x对于任意i≥N成立. 定义6.1.3 X 是一个拓扑空间,若X中任意两个不相同的点都各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称X是一个Hausdorff空间，或T2空间. x y U V T2 空 间 例6.1.1 非Hausdorff的T1空间的例子. 定理6.1.5 Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点. 换言之 继续 也可以换一个说法 若存在一个开集V满足: 则称U是A的一个邻域. 定义6.2.2 设X是一个拓扑空 间，若X中的任何一个点x和任何 一 个不包含x的闭集A都各有一个 开邻域U,V，使 得 ， 则称X是一个 . x A U V 定理6.2.1 是一个拓扑空间,则 是一个正则空间当且仅当对于任 何点 和 的任意一个邻域U,存在一个 的开邻域V使得: x U V 充分性 对任意的x∈X和不包含x的任意闭集A,则 是x的一个开邻域, 故有x的开邻域U 使得 , 令 ,则有 ,所以V是A的一个开邻域,并且有 ,这说明X是一个正则空间. 图 继续 x A U 定义6.2.3 设X是一个拓扑空间,若X中任意两个互不相交的闭集A、B都各有一个开邻域U、V，满足 则称拓扑空间X 是一个正规空间. A B U V 定理6.2.2 设X是一个拓扑空间.则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集 和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V，使得 . 正则且正规的空间 但非T0,T1,T2空间的例子 设X＝{1,2,3} , T T2空间但非正则、 非正规空间的例子 记 T 为实数空间的通常拓扑 设 , 则T1是R的一个拓扑 继续 *