BS期权定价模型章节件.ppt

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第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型 第一节 证券价格的变化过程 一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年,法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为,投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬;证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的,证券价格能完全反应全部信息;市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平,而与新信息相应的价格变动是相互独立的。 效率市场假说可分为三类:弱式、半强式和强式。 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)来表述。 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 如果证券价格遵循马尔可夫过程,则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。 二、布朗运动 (一)标准布朗运动 设 代表一个小的时间间隔长度, 代表变量z在时间 内的变化,遵循标准布朗运动的 具有两种特征: 特征1: 和 的关系满足(6.1): (6.1) 其中, 代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为1.0的正态分布)中取的一个随机值。 标准布朗运动(2) 特征2:对于任何两个不同时间间隔, 和 的值相互独立。 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形,我们可得: (6.2) 当?0时,我们就可以得到极限的标准布朗运动: (6.3) (二)普通布朗运动 我们先引入两个概念:漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0,方差率为1.0。 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2,就可得到变量x 的普通布朗运动: (6.4) 其中,a和b均为常数,dz遵循标准布朗运动。 三、伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数,若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数,我们可以从公式(6.4)得到伊藤过程(Ito Process): (6.5) 其中,dz是一个标准布朗运动,a、b是变量x和t的函数,变量x的漂移率为a,方差率为b2。 四、证券价格的变化过程 证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为 的伊藤过程来表示: 两边同除以S得: (6.6) 从(6.6)可知,在短时间后,证券价格比率的变化值为: 可见, 也具有正态分布特征 (6.7) 例6.1 设一种不付红利股票遵循几何布朗运动,其波动率为每年18%,预期收益率以连续复利计为每年20%,其目前的市价为100元,求一周后该股票价格变化值的概率分布。 五、伊藤引理 若变量x遵循伊藤过程,则变量x和t的函数G将遵循如下过程: (6.8) 由于 (6.9) 根据伊藤引理,衍生证券的价格G应遵循如下过程: (6.10) 六、证券价格自然对数变化过程 令 ,由于 代入式(6.10): (6.11) 证券价格对数G遵循普通布朗运动,且: 例6.2 设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利,请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。 例6.3 请问在例6.2中,A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少? 第二节 布莱克——舒尔斯期权定价模型 一、布莱克——舒尔斯微分方程 (一)布莱克——舒尔斯微分方程的推导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动: 则: (6.12) 假设f是依赖于S的衍生证券的价格,则: (6.13)

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