【高中】数学指数及指数函数.ppt

第五节　指数与指数函数 (3)有理数指数幂的运算性质： ①ar·as＝ ________(a＞0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝________ (a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝ _______(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指数函数的图象与性质 1．如图2－5－1是指数 函数(1)y＝ax，(2)y＝bx， (3)y＝cx，(4)y＝dx的图象， 底数a，b，c，d与1之间 的大小关系如何？你能得到什么规律？ 【提示】　图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1＞d1＞1＞a1＞b1，∴c＞d＞1＞a＞b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 2．函数y＝ax，y＝a|x|(a＞0，a≠1)二者之间有何关系？ 【提示】　函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【答案】　B 【答案】　D 【解析】　由题意得0≤16－4x＜16， ∴函数的值域是[0，4)． 【答案】　C 4．(2013·三明模拟)当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________． 【解析】　∵a0＝1，∴x－2＝0，即x＝2，此时，f(2)＝－2，因此必过定点(2，－2)． 【答案】　(2，－2) 5．(2013·安庆模拟)指数函数y＝(a2－1)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________． 【思路点拨】　将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行运算． 1．这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 已知f(x)＝|2x－1|， (1)求f(x)的单调区间； (2)比较f(x＋1)与f(x)的大小； (3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2零点的个数． 【思路点拨】　(1)作出f(x)的图象，数形结合求解． (2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x＋1)图象，数形结合求解． (3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝x2的图象，数形结合求解． (2)在同一坐标系中分别作出 函数f(x)、f(x＋1)的图象， 如图所示． (3)将g(x)＝f(x)－x2的零点转化为函数f(x)与y＝x2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝|2x－1|和y＝x2的图象如图所示，有四个交点，故g(x)有四个零点． 1．指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解． k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？ 【解】　函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解. 【思路点拨】　(1)根据复合函数的单调性求解． (2)先求函数的定义域，再判断奇偶性；对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x＞0的情况． 1．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x＞0时的情况． ∵x1＜x2，∴当a＞1时，ax2＞ax1＞0， 从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(x)为R上的增函数，当0＜a＜1时，ax1＞ax2＞0， 从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，f(x)为R上的减函数． 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 1.指数函数的单调性取决于底数a的大小，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． 2．换元时注意换元后“新元”的范围． 从近两年高考看，本节多以指数函数为载体，