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内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 主要讨论常系数线性微分方程组 的基解矩阵的结构和求法。其中A是n×n常数矩阵。 第三节 常系数线性微分方程组 一、矩阵指数expA的定义和性质 1、定义：如果A是一个n×n常数矩阵，定义矩 阵指数expA为下面的矩阵级数的和： 其中 为 阶单位矩阵， 是矩阵 的 次幂． 注：规定 ,对任何方阵都是收敛的，有 ． 级数 在t的任何有限区间上都是一致收敛的． 注释：利用范数证明。 2、性质 如果矩阵A,B是可交换的，即 AB=BA ，则 exp(A+B)=expAexpB 对于任何矩阵A， 存在，且 如果T是非奇异矩阵，则 定理9 矩阵 是（5.33)的基解矩阵，且 。 证明：分析其证明方法即可。 1、采用验证方法证明； 2、利用定理2* 注意：利用定理9及定理1*,知道（5.33）的任意一个解 可以表示为： 并且在某些特殊情况下，很容易求得其基解矩阵。 例1：如果A是一个对角矩阵。 试求出x’=Ax的基解矩阵。 解：由矩阵指数的定义可得 例2：试求 的基解矩阵。 解 ： 分析，因为有： 利用性质1（矩阵指数的可加性）和例1可得： 技巧性较强！ 二、基解矩阵的计算公式 定理9的分析 （5.33)的基解矩阵就是expAt，问题是好像已经解决了，但是expAt是一个矩阵级数，而这个矩阵的每一个元素是什么？这里用线性代数的相关知识来讨论expAt的计算方法，从而解决常系数微分方程组解的结构问题。 分析： 对于（5.33）试图求形如 的解，于是有 注：常数 和向量 是待定的。 (一)、矩阵的特征值和特征向量 定义1：假设A是一个n×n常数矩阵，使得关于u的线性代数方程组 具有非零解的常数 称为A的一个特征值。（5.45）的对应于任一特征值 的非零解u 称为A的对应于特征值 的特征向量。 定义2：n次多项式： 称为A的特征多项式，n次代数方程： 称为A的特征方程，也称它为（5.33）的特征方程。 注意：有单特征根和重特征根之分。 例3：试求矩阵 的特征根和对应的特征向量。 结论：每一个矩阵的特征根对应的所有特征向量不一定都是线性无关的，而不同的特征根对应的特征向量是线性无关的，而一个n×n矩阵最多有n个线性无关的特征向量。所以，首先讨论具有n个不同特征根的特征向量的计算方法，即基解矩阵的计算方法。 解：注重分析求解过程。有 定理10 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量 ，它们对应的特征值分别为 （不必各不相同），那么矩阵 是常系数线性微分方程组： 的一个基解矩阵。 (二)、基解矩阵的计算公式 (三)、基解矩阵的计算举例 例5：试求方程组 的一个基解矩阵。 解：分析方程为齐线性方程组，由定理10及例3，得到原方程的基解矩阵为： 复数矩阵！ 分析：定理10告诉了求基解矩阵 的计算方法，但定理10中的 不一定是expAt，然而由前面推论2*知道，对于给定的线性微分方程组，它的基解矩阵之间仅相差一个非奇异常数矩阵C；同时，根据定理10求出的基解矩阵是一个复矩阵，而如果A是一个实矩阵，所以，expAt 也应该是一个实矩阵，而例5告诉我们，从定理10求出的矩阵不一定满足要求。那么该如何求这个实矩阵呢？ 这里介绍三种常用的计算基解矩阵的方法： 如果A是一个实的，如何求expAt； 利用约当标准型计算基解矩阵； 利用哈密顿-凯莱定理计算基解矩阵。 (1)求实矩阵A的基解矩阵方法 由前面的分析知道，设expAt和 是原方程组的两个基解矩阵，则有 于是得到求一实矩阵A对应线性方程组的基解矩阵步骤如下(特征根属单根)： 1、求矩阵的特征值和对应特征向量； 2、计算 ； 3、计算实基解矩阵 . 例6 试求例5的实基解矩阵。 分析（步骤）：求特征值； 求对应的特征向量 ； 由定理10，求基解矩阵（复）： ； 求基解矩阵 即： 求任意矩阵A的基解矩阵方法（省略） （特征根是重