第二部分内积空间.ppt

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上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式: 关于复向量的长度、正交向量、正交基、标准 正交基的概念完全类似实内积空间中的定义,这儿 不再一一概述。 定义2 (酉变换) 设 是酉空间 的线性变换,如果 对任意的 ,满足 则称线性变换 为 的酉变换。 二、酉变换 定义3(酉矩阵) 设 ,如果 ,则称 为酉矩阵。 定理2 (酉变换的等价定义) 设 是n维酉空间 的一个线性变换,则下列命题等价: ⑴ 是酉变换。 ⑵ 保持向量长度不变,即对 ,均有 。 ⑶如果 是 的一组标准正交基,则 也是 的一组标准正交基。 ⑷ 在 中任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵。 定理3 所有n维酉空间都是同构的。 §7、正规矩阵 定义1(正规矩阵) 设 ,如果 ,则称 为正规 矩阵。 常见的正规矩阵: ①实对称矩阵: ②实反对称矩阵: ③厄米特矩阵: ④反厄米特矩阵: ⑤正交矩阵: ⑥酉矩阵: 不属于前述类型的正规矩阵: 引理 (酉矩阵的构造) 设 是酉空间 的一个单位向量,则存在一个以 为第一个列向量的酉矩阵 。 证明: 取 ,且满足 上述关于变量 的方程组的解空间为n-1维,不妨假设 其线性无关组为 ,将其正交单位化后 得到 ,则 构成 的一组标准正交基,从而 证明:充分性直接利用定义验证易得。 定理1 (正规矩阵的判定条件) 设 为正规矩阵的充要条件是:存在酉矩阵 ,使得 酉相似于对角矩阵,即 必要性:数学归纳法证明(对阶数n归纳) 当n=1时,结论显然成立。 假设结论对n-1阶矩阵成立,下证对n阶矩阵也成立。 设 是 的一个特征值, 是相应单位特征向量, 由引理知,存在以 为列向量的酉矩阵 * 第二章 内积空间 一、实内积空间的定义 §1、实内积空间的概念 定义1 设 ,如果对 ,存在实数 (记为 )与之对应,且满足下列条件 ① ② ③ ,当且仅当 时等号成立。 则称实数 为向量 的内积,定义了内积的 实线性空间称为实内积空间,简称为内积空间。 例1 常见几个线性空间上内积的定义: 欧氏空间(有限维实内积空间) : ② 上连续函数的全体构成的空间 : 注:向量的长度 或 正交向量 : ④实数域上所有n次多项式构成的线性空间 : ③实数域上所有n阶方阵构成的线性空间 : 性质1 (内积的性质) ① ② ③ 定理1 (Cauchy-Schwarz不等式) 设 是内积空间, 是 中任意两个向量,则有: 当且仅当 线性相关时等号成立。 上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式: 上Cauchy-Schwarz不等式的积分形式: 例2 设 是 中的一组向量,证明这组 向量线性无关的充要条件是下列行列式(Gram) 证明:设 §2、正交基与子空间的正交关系 定义1 (正交组) 内积空间中两两正交的一组非零向量,称之为正交组。 注: 任何一个正交组都是线性无关的。 定义2 (正交基) 在n维欧氏空间中,由正交组构成的基,称之为正交基。 如果正交基中每个基向量的长度均为1,则称该组正交基为标准(或规范)正交基,通常记为 定理

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