概率论习题解答(第4章)概率论习题解答(第4章).doc

第4章习题答案 三、解答题 1. 设随机变量的分布律为 X – 2 0 2 pi 0.4 0.3 0.3 求，，． 解：E (X ) = = +0+2= -0.2 E (X 2 ) = = 4+ 0+ 4= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 4.4 2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi 的分布律为 记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (Xi ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望． (2) 某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望． 解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B(n, p1),所以E (X )= n p1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B(n, p), 记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2 所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 ) 4. 将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)． 解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1. 5. 设，且，求E(X)． 解：由题意知X～P（），则X的分布律P =，k = 1,2,... 又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6. 6. 设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在？ 解：因为级数， 而 发散，所以X的数学期望不存在. 7. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为 求一天的平均耗电量． 解：E(X) ==6. 8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为 求这种家电的平均寿命E(X)． 解：由题意知，随机变量X的概率密度为 当5时， ，当(5时，0. E(X) = 所以这种家电的平均寿命E(X)=10年. 9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为 求X的数学期望E(X)． 解：E(X) ==1/4 10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)． 解：. 11. 设，求数学期望． 解：X的分布律为， k = 0，1，2，3，4， X取值为0，1，2，3，4时，相应的取值为0，1，0，-1，0，所以 12. 设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：，（k 0，常数），求W的数学期望． 解：V的分布律为，所以 13. 设随机变量(X, Y )的分布律为 Y X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 0 求E(X)，E(Y )，E(X – Y )． 解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4. 14. 设随机变量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY) 解：E(X)= 15. 某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律 X 10 11 12 13 14 pi 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 所得利润（以元计）为,求E(Y)，D(Y)． 解： E(Y) = E［1000(12-X)］ =1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400 E(Y2) = E［10002(12-X)2］ =10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106 D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106- 4002=1.44×106 16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为 其中