概率论第三章第五节概率论第三章第五节.ppt

§3.5 多个随机变量的函数的分布 3.5.1 两个离散型随机变量函数的分布 (1) 设(X1, X2) 是二维离散型随机变量， 则 Z = g(X1, X2) 是一维离散型随机变量. 例3 设 X1, X2, …… Xn, 独立同分布，其分布函数和概率密度分别为 FX(x) 和 fX(x). 若记 分布的可加性 泊松分布的可加性 设 X1, X2, …… Xn, 独立同分布，其分布函数和概率密度分别为 FX(x) 和 fX(x). 课堂练习 * * 问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 Z=g (X, Y)的分布？ 有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与X,Y的函数关系Z=f(X,Y)，如何通过X,Y的分布确定Z的分布. (2) 二维离散型随机变量函数的分布是容易求的： i) 对(X1, X2)的各种可能取值对，写出 Z 相应的取值. ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率. 例1(补充) 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 得 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 解: 可得 所以 结 论 若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 则随机变量Z=(X,Y)的分布律为 例2 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布律. 解: X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1 P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = (X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 3/4 1. Z=X+Y 的分布 的分布函数为 则 的概率密度为 　　设 Y X Z y x f Y X + = ), , ( ) , ( 3.3.2 两个连续型随机变量的函数的分布 由此可得概率密度函数为 由于X 与Y 对称, 当 X, Y 独立时, 也可表示为 ) ( z f Z 若 (X, Y) ～ 求Z=X+Y的概率密度. 解: fZ(z)= 由f (x, y)的表达知，当x0，z-x0时, 被积函数不为0，如图3-6. 例4 X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求 Z = X+ Y 的分布. 解： 所以 Z = X+ Y ? N(0, 2). 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布. 一般地，设X,Y相互独立,且 仍然服从正态分布，则Z=X+Y也服从正态分布， 且有 M= max (X1, X2, …… Xn), N = min (X1, X2, …… Xn) 则 M 的分布函数: Fmax (z) = [FX(y)]n M 的概率密度: fmax(z) = n[FX(y)]n?1 fX(y) N 的分布函数: Fmin(z) = 1?[1? FX(z)]n N 的概率密度: fmin(z) = n[1? FX(z)]n?1 fX(z) （二） 最大值、最小值的分布 例5 设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接而成，其联接方式分别为(1) 串联、(2) 并联,如图3-7所示.设L1和L2的寿命分别为X和Y，已知它们的密度函数分别为: 其中α0,β0.试分别就以上两种联接方式，求出系统L的寿命Z的概率密度. 解:（1）串联情况. 因为当L1和L2中有一个损坏，系统L就停止工作，所以，此时L的寿命为 Z=min{X,Y}. 由已知可知X和Y的分布函数分别为： 所以Z的分布函数为 FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)] 于是得Z的概率密度 (2) 并联情况. 此时系统L的寿命为Z=max{X,Y}. 所以Z的分布函数为 FZ(z)=FX(z)FY(z)= 于是得Z的概率密度 fZ(z)= 若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性. 二项分布的可加性 若 X ? b(n1, p)，Y ? b(n2, p)， 注 若 Xi ? b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + … + Xn ? b(n, p). 则 Z = X+ Y ? b(n1+n2, p). 若 注 X ?Y 不服从泊松分布. 且独立， 则 Z = X+ Y