概统7.2节数字特征及极限定理概统7.2节数字特征及极限定理.ppt

* 引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发 子弹击中的环数分别为： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？ 解 首先比较平均环数 甲 = 8.3, 乙 = 8.3 §7.2 方差 有五个不同数 有 四 个 不 同 数 §7.2 方差 引例 再比较稳定程度 甲： 乙： 乙比甲技术稳定，故乙技术较好. 进一步比较平均偏离平均值的程度 甲 乙 E [X - E(X)]2 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 称 为 X 的均方差或标准差. 方差概念 定义 即 D (X ) = E [X - E(X)]2 变量 X 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) 两者量纲相同 D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 —— 数 方差概念 若 X 为离散型 r.v.，分布律为 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) 计算方差的常用公式： D (C) = 0 D (aX ) = a2D(X) D(aX+b ) = a2D(X) 特别地，若X ,Y 相互独立，则 方差的性质 方差性质 若 相互独立， 为常数 则 若X ,Y 相互独立 对任意常数C, D (X ) ? E(X – C)2 , 当且仅当C = E(X )时等号成立 D (X ) = 0 P (X = E(X))=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X) 性质 1 的证明： 性质 2 的证明： 性质 3 的证明： 当 X ,Y 相互独立时， 注意到， 性质 4 的证明： 当C = E(X )时，显然等号成立； 当C ? E(X )时， 例1 设X ~ P (?), 求D ( X ). 解 方差的计算 方差计算 例1 例2 设X ~ B( n , p)，求D(X ). 解一 仿照上例求D (X ). 解二 引入随机变量 相互独立， 故 例2 例3 设 X ~ N ( ?, ? 2), 求 D( X ) 解 例3 常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P(?) ? 常用分布的方差 分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E(?) N(?,? 2) 例4 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ). 解 故 例4 例5 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次 为止所需射击的次数 , 已知每次射击中靶 的概率为 p , 求E(X ), D(X ). 解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次 击中目标所需射击的次数，i = 1,2,…, n 相互独立，且 例5 故 本例给出了几何分布与巴斯卡 分布的期望与方差 例6 将 编号分别为 1 ~ n 的 n 个球随机 地放入编号分别为 1 ~ n 的n 只盒子中, 每盒一 球. 若球的号码与盒子的号码一 致，则称为一个配对. 求配对个数 X 的 期望与方差. 解 则 不相互独立， 但 例6 P 1 0 P 1 0 P 1 0