2016-2017学年度高中数学苏教版选修4-2模块综合检测 Word版含解析.docVIP

模块综合检测1.已知矩阵M＝求矩阵M的特征值与特征向量.【解】　矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ－3λ＋2令f(λ)＝0解得λ＝1＝2将λ＝1代入二元一次方程组解得x＝0所以矩阵M属于1的一个特征向量为；同理矩阵M属于特征值2的一个特征向量为.已知在二阶矩阵M对应变换的作用下四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′其中A(1)，B(－1)，C(－1－1)(3，－3)1，1)，D′(－1－1).(1)求出矩阵M；(2)确定点D及点C′的坐标. 【导学号【解】　设M＝则有＝＝所以解得所以M＝.(2)由＝得C′(－3). 由＝得D(1－1).设曲线2x＋2xy＋y＝1在矩阵A＝(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x＋y1. ①求实数a的值；求A的逆矩阵.【解】　①设曲线2x＋2xy＋y＝1上任意点P(x)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′). 由＝＝得又点P′(x′)在x＋y＝1上所以x′＋y′＝1即a＋(bx＋y)＝1整理得(a＋b)x2＋2bxy＋y＝1.依题意得或因为a1所以由①知A＝A2＝＝.所以|＝1(A2)－1＝.(江苏高考)已知矩阵A＝矩B的逆矩阵B－1＝求矩阵AB.【解】　设B＝则B－1B＝＝即＝故解得所以B＝.因此AB＝＝.曲线x＋4xy＋2y＝1在二阶矩阵M＝的作用下变换为曲线x－2y＝1.(1)求实数a的值；2)求M的逆矩阵M－1【解】　(1)设P(x)为曲线x－2y＝1上任意一点(x′，y′)为曲线x＋4xy＋2y＝1上与P对应的点则＝即代入得(x′＋ay′)－2(bx′＋y′)＝1即得(1－2b)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a－2)y′＝1及方程x＋4xy＋2y＝1从而解得a＝2＝0.(2)因为M的行列式为＝1≠0M－1＝＝.已知矩阵M＝向量α＝求Mα的值.【解】　矩阵M的特征多项式(λ)＝＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×＝λ－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4).令f(λ)＝0解得λ＝4＝－2.从而求得属于特征值λ＝4的一个特征向量为属于λ＝－2的一个特征向量为.令α＝＝m＋n则m＝＝即＝×＋，所以Mα＝4×＋(－2)×＝.如果曲线x＋4xy＋3y＝1在矩阵的作用下变换得到曲线x－y＝1求a＋b.【解】　在曲x2＋4xy＋3y＝1上任取一点P(x)，设点P(x)在矩阵的作用下变换得到点P′(x′)， 则＝所以则(x＋ay)－(bx＋y)＝1化简得(1－b)x2＋2(a－b)xy＋(a－1)y＝1从而解得所以a＋b＝2.密码学是关于信息编码和解码的理论其中经常用到矩阵知识首先建立如下对应关系：　B　C　…　Y　Z?　?　?　　?　? 1　2　 3　…　25　26取矩阵A＝.(1)将进行编码；(2)将93恢复成原来的信息.【解】　(1)的编码为7(2)∵det(A)＝5×1－3×2＝－1A－1＝把接收到的密码按顺序分成两组并写成列向量可得A－1＝＝A－1＝＝.密码恢复成编码15即得到原来的信息OFCO.已知矩阵M＝β＝.(1)求M的特征值和特征向量；(2)计算Mβ，M10β，M100β；(3)从第(2)小题的计算中你发现了什么？ 【导学号【解】　(1)矩阵M的特征多项式(λ)＝＝(λ－1)(λ－2).令f(λ)＝0得λ1，λ2＝2.属于λ＝1的一个特征向量α＝属于λ＝2的一个特征向量α＝.(2)令β＝mα＋nα则m＋n＝＝2＝1即β＝2α＋αM4β＝M(2α1＋α)＝2Mα1＋Mα2＝2λα＋λα＝214×＋2＝同理可得Mβ＝M100β＝(3)当n→＋∞时可近似认为Mnβ＝M(2α1＋α)≈Mnα2＝2＝自然界生物种群的成长受到多种因素的影响如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等.因此它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系.但是如果没有任何限制种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X随时间段变化的数量分别为{a并有关系式其中a＝1＝7试分析10个时段后这两个种群的数量变化趋势.【解】　由题意知＝令M＝则f(λ)＝＝(λ－1)(λ－4).令f(λ)＝0解得λ＝1＝4对应的一个特征向量分别为. 设α＝＝则α＝3＋(－2)则Mα＝3×4＋(－2)×1＝. 照此发展下去两个种群的数量趋于均衡.