2016-2017学年度高中数学苏教版选修4-4学业分层测评1 直角坐标系 Word版含解析.docVIP

学业分层测评(一) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．已知点Q(1,2)，求Q点关于M(3,4)的对称点． 【解】　设点P的坐标为(x，y)， 由题意知，M是PQ的中点， 因此∴点P的坐标为(5,6)． 2．设ABC的三个顶点坐标分别为A(3，－1)，B(8,2)，C(4,6)，求ABC的面积． 【解】　如图，作直线l：y＝－1，过点B、C向l引垂线，垂足分别为B1、C1，则ABC的面积为 S＝SAC1C＋S梯形C C1B1B－SAB1B＝×1×7＋(7＋3)×4－×5×3＝16. 3．已知点P(0,4)，求P点关于直线l：3x－y－1＝0的对称点． 【解】　设P点关于l的对称点Q的坐标为(a，b)，由题意得 即 解之得 P点关于直线l的对称点坐标为(3,3)． 4．已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AMMB＝12，求动点M的轨迹方程． 【导学号 【解】　如图，设A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)，AB＝6， ＝6，即x＋y＝36， 又AM∶MB＝12， x＝，y＝， 即 代入得x2＋9y2＝36， 即x2＋4y2＝16. 得动点M的轨迹方程为x2＋4y2＝16. 5．设点P是矩形ABCD所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA2＋PC2＝PB2＋PD2. 【证明】　如图，以(矩形的)顶点A为坐标原点，边AB、AD所在直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，并设B(b,0)、D(0，d)，则点C的坐标为(b，d)．又设P(x，y)， 则PA2＋PC2＝x2＋y2＋(x－b)2＋(y－d)2， PB2＋PD2＝(x－b)2＋y2＋x2＋(y－d)2. 比较两式，可知PA2＋PC2＝PB2＋PD2. 6．有相距1 400 m的A、B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4 s．已知当时声音速度为340 m/s，试求爆炸点所在的曲线． 【解】　由题知：爆炸点P到B的距离比到A的距离多340×4＝1 360米． 即PB－PA＝1 360＜1 400，PB＞PA. 故P在以A、B为焦点的双曲线上，且离A近的一支． 以A、B两点所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由题意得，2a＝1 360,2c＝1 400，故a＝680，c＝700，b2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为－＝1(x＜0)． 7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O正东方向80海里的B处，沿东西方向向O岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O正北方向40海里的A处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，岛屿O为原点，建立平面直角坐标系并标出A，B两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标． 【解】　A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)， ∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)． 我船直行到点C与不明船只相遇， 设C(x,0)， OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x. 两船速度相同， AC＝BC＝80－x. 在RtAOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝(80－x)2，解得x＝30. 点C的坐标为(30,0)． [能力提升] 8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4-1-2，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)，B(6,0)． 图4-1-2 (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； (2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A、B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？ 【解】　(1)设曲线方程为y＝ax2＋， 点D(8,0)在抛物线上，a＝－， 曲线方程为y＝－x2＋. (2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知 得4y2－7y－36＝0. y＝4或y＝－(舍去)，y＝4. 得x＝6或x＝－6(舍去)． C点的坐标为(6,4)，AC＝2，BC＝4. 所以当航天器离观测点A、B的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令．