2016-2017学年度高中数学苏教版选修4-4学业分层测评11 直线的参数方程的应用 Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．已知直线l经过点P(1，－3)，倾斜角为，求直线l与直线l′：y＝x－2的交点Q与点P的距离|PQ|. 【解】　l过点P(1，－3)，倾斜角为， l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)． 代入y＝x－2，得－3＋t＝1＋t－2， 解得t＝4＋2， 即t＝2＋4为直线l与l′的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义，可知|t|＝PQ，PQ＝4＋2. 2．求直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长． 【解】　将代入圆的方程x2＋y2＝9，得5t2＋8t－4＝0，t1＋t2＝－，t1t2＝－. |t1－t2|2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝＋＝， 所以弦长＝|t1－t2|＝·＝. 3．已知椭圆＋＝1和点P(2,1)，过P作椭圆的弦，并使点P为弦的中点，求弦所在的直线方程． 【解】　设弦所在直线的参数方程为(t为参数)，代入椭圆方程＋＝1，得(cos2α＋4sin2α)·t2＋4(cosα＋2sin α)t－8＝0，所以t1＋t2＝－，因为P是弦的中点，所以t1＋t2＝0， 即－＝0，所以cos α＋2sin α＝0，tan α＝－.又P(2,1)在椭圆内，所以弦所在的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 4．过抛物线y2＝2px(p0)的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，求线段AB中点M的轨迹的普通方程． 【解】　由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA的方程为y＝kx， 则OB的方程为y＝－x，解得或所以A点坐标为(，)．同理可求得B点坐标为(2pk2，－2pk)．设AB中点M的坐标为(x，y)， 则消去k得y2＝px－2p2.所以点M的轨迹方程为y2＝px－2p2. 5．(湖南高考改编)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，试求a的值． 【导学号 【解】　消去参数t得2x＋y－3＝0. 又消去参数θ得＋＝1. 方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，将(，0)代入＋＝1，得＝1.又a0，a＝. 6．已知直线l经过点P(1,0)，倾斜角为α＝. (1)写出直线l的参数方程； (2)设直线l与椭圆x2＋4y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积． 【解】　(1)直线l的参数方程为 即(t为参数)． (2)联立直线与圆的方程得 (1＋t)2＋4()2＝4，t2＋t－3＝0， 所以t1t2＝－，即|t1||t2|＝. 所以P到A、B两点的距离之积为. 7．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点． (1)求AB；(2)求AB的中点M的坐标及FM. 【解】　抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)， 依题意，设直线AB的参数方程为 (t为参数)， 其中tan α＝2，cos α＝，sin α＝，α为直线AB的倾斜角，代入y2＝8x整理得t2－2t－20＝0. 则t1＋t2＝2，t1t2＝－20. (1)AB＝|t2－t1|＝ ＝＝10. (2)由于AB的中点为M， 故点M对应的参数为＝， M(3,2)，FM＝||＝. [能力提升] 8．如图4-4-6所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求： 图4-4-6 (1)P，M间的距离PM； (2)点M的坐标； (3)线段AB的长． 【解】　(1)直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为α，则 tan α＝，cos α＝，sin α＝， 直线l的参数方程的标准形式为 (t为参数)．(*) 直线l和抛物线相交，将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中， 整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝，t1t2＝－. 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 PM＝＝. (2)因为中点M所对应的参数为tM＝， 将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)， 得 即M(，)． (3)AB＝|t1－t2|＝ ＝.