2016-2017学年度高中数学苏教版选修4-4学业分层测评12 圆、椭圆的参数方程的应用 Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十二) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．当x2＋y2＝4时，求u＝x2＋2xy－y2的最值． 【解】　设(0≤θ2π)，于是 u＝x2＋2xy－y2 ＝4cos2θ＋8cos θsin θ－4sin2θ ＝4cos 2θ＋4sin 2θ ＝8sin(2θ＋)． 所以，当θ＝，x＝，y＝1时，或θ＝，x＝－，y＝－1时，umax＝8； 当θ＝，x＝－1，y＝时，或θ＝，x＝1， y＝－时，umin＝－8. 2．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． 【解】　令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有 x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2 ＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)(tan φ＝2)． －2≤2x＋y≤2. 即2x＋y的最大值为2，最小值为－2. 3．过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A、B两点．求线段AB的长． 【导学号 【解】　直线的参数方程为(s为参数)， 曲线(t为参数)可以化为 x2－y2＝4. 将直线的参数方程代入上式，得 s2－6s＋10＝0. 设A、B对应的参数分别为s1，s2， s1＋s2＝6，s1s2＝10. AB＝|s1－s2|＝＝2. 4．已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使OPA＝90°，求椭圆离心率的取值范围． 【解】　设椭圆的方程为＋＝1，A(a,0)，设P(acos θ，bsin θ)是椭圆上一点，则＝(acos θ－a，bsin θ)，＝(acos θ，bsin θ)，由于OPA＝90°，所以·＝0，即(acos θ－a)acos θ＋b2sin2θ＝0， a2(cos2θ－cos θ)＋b2sin2θ＝0， a2cos θ(cos θ－1)＋b2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0. 因为P与A不重合， 所以cos θ－1≠0， 则a2cos θ＝b2(1＋cos θ)， ＝， ＝1－＝1－＝. 因为θ(0，)(π，2π)， 所以(，1)，e(，1)． 5．已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：OP·OQ为定值． 【证明】　设M(2cos φ，sin φ)，φ为参数，B1(0，－1)， B2(0,1)． 则MB1的方程：y＋1＝·x， 令y＝0， 则x＝， 即OP＝||. MB2的方程：y－1＝x， 令y＝0，则x＝. OQ＝||. OP·OQ＝||×||＝4. 即OP·OQ＝4为定值． 6．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)， (1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标； (2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 【解】　(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1. 联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)． (2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0. A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 (α为参数)， P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝， 故P点的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆． 7．求椭圆C：＋＝1上的点P到直线l：3x＋4y＋18＝0的距离的最小值． 【解】　设点P的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ[0,2π)， 则点P到直线l的距离 d＝ ＝ ＝≥， 当sin(θ＋)＝－1时，等号成立．因为θ[0,2π)，所以θ＝. 所以当θ＝时，d取得最小值. [能力提升] 8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为，其中θ为参数．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos(θ＋)＝3.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值． 【解】　直线l的普通方程为：x－y－3＝0，设椭圆C上的点到直线l距离为d. d＝ ＝ 当sin(θ－)＝1时，dmax＝2， 当sin(θ－)＝－1时，dmin＝.