2016-2017学年度高中数学苏教版选修4-4学业分层测评8 平面直角坐标系中的伸缩变换 Word版含解析.docVIP

学业分层测评(八) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换后的方程． (1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1. 【解】　由伸缩变换得到 (1)将代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x′＋y′＝0， 所以，经过伸缩变换后，直线2x＋3y＝0变成直线x＋y＝0. (2)将代入x2＋y2＝1，得＋＝1.所以，经过伸缩变换后，方程x2＋y2＝1变成＋＝1. 2．伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆x′2＋＝1.求曲线C的方程． 【解】　把代入x′2＋＝1， 得x2＋y2＝1， 即曲线C的方程为x2＋y2＝1. 3．设F：(x－1)2＋(y－1)2＝1在的伸缩变换下变为图形F′，求F′的方程． 【解】　由得所以(x－1)2＋(y－1)2＝1变换为(x′－1)2＋(y′－1)2＝1，即＋(y′－1)2＝1，所以F′的方程是＋(y－1)2＝1. 4．双曲线－＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x2－y2＝1吗？ 【解】　双曲线方程－＝1可以化为()2－()2＝1.令则x′2－y′2＝1.所以双曲线－＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x2－y2＝1，具体步骤是：按伸缩系数向着y轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数向着x轴进行伸缩变换． 5．已知G是ABC的重心，经过伸缩系数k向着x轴(或y轴)的伸缩变换后，得到G′和A′B′C′.试判断G′是否为A′B′C′的重心． 【解】　设ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则G(，)．经过伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到A′B′C′的三个顶点及点G′的坐标分别为A′(x1，ky1)、B′(x2，ky2)，C′(x3，ky3)，G′(，k)．由于A′B′C′的重心坐标为(，)，所以G′仍然是A′B′C′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y轴方向，G′同样也是A′B′C′的重心． 6．已知：ABC经过伸缩变换(k≠0，且k≠1)后，得到A′B′C′.求证：A′B′C′和ABC相似，且面积比为k2. 【证明】　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 A′(kx1，ky1)、B′(kx2，ky2)． 所以A′B′＝ ＝|k|＝|k|AB. 同理可得A′C′＝|k|AC，B′C′＝|k|BC， 所以A′B′C′∽△ABC，所以A＝A′， S△A′B′C′＝(|k|AB)·(|k|AC)sin A′ ＝k2[(AB·AC)sin A]＝k2SABC. 7．设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ，使＝λPP2，称λ为点P分有向线段P1P2所成比．设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，点P分有向线段P1P2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P1、P2和P分别变为P1′、P2′和P′.求证：P1′、P2′和P′三点依然共线，且P′分有向线段P1′P2′所成比等于λ. 【导学号 【证明】　设P(x0，y0)，由＝λ，得(x0－x1，y0－y1)＝λ(x2－x0，y2－y0)， 所以 设给定伸缩变换为则有 P1′(k1x1，k2y1)、P2′(k1x2，k2y2)、 P′(k1，k2)． ＝(k1－k1x1，k2－k2y1)＝λ(，)， ＝(k1x2－k1，k2y2－k2)＝(，)， 所以＝λ. 所以P1′、P2′和P′三点依然共线，且P′分有向线段P1′P2′所成比等于λ. [能力提升] 8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线－＝1的图形： (1)x轴与y轴具有相同的单位长度； (2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍； (3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍． 【解】　(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线－＝1的图形如下： (2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线－＝1的图形如下： (3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线－＝1的图形如下：