2016-2017学年度高中数学苏教版选修4-4学业分层测评3 球坐标系与柱坐标系 Word版含解析.docVIP

学业分层测评(三) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．把下列各点的球坐标化为直角坐标： (1)M；(2)N； (3)P. 【解】　(1)设点M的直角坐标为(x，y，z)，M在xOy平面内的射影为M′，则OM′＝2 sin＝2.于是x＝2cos＝1，y＝2sin＝，z＝2cos＝0. 故点M的直角坐标为(1，，0)． (2)x＝5sincos＝0，y＝5sinsin＝， z＝5cos＝－， 点N的直角坐标为. (3)x＝9sincos＝－， y＝9sinsin＝，z＝9cos＝－. ∴点P的直角坐标为. 2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标： (1)Q；(2)R； (3)S. 【解】　(1)x＝0，y＝5， 故点Q的直角坐标为 Q(0,5，－2)． (2)x＝6cos＝－3，y＝6sin＝3， 故点R的直角坐标为R(－3,3，4)． (3)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝－4，故点S的直角坐标为S(－4，－4，－3)． 3．已知长方体ABCD-A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标． 【导学号 【解】　如图，C1点的直角坐标(x，y，z)分别对应着CD、BC、CC1；C1点的柱坐标(ρ，θ，z)分别对应着CA、BAC、CC1；C1点的球坐标(r，θ，φ)分别对应着AC1、BAC、A1AC1. C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(其中tan θ＝)，C1点的球坐标为(2，φ，θ)(其中cos φ＝，tan θ＝)． 4．在球坐标面内，方程r＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝表示空间中的什么曲面？ 【解】　方程r＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝表示顶点在原点，半顶角为的圆锥面，中心轴为z轴． 5．在球坐标系中，求两点P，Q的距离． 【解】　将P，Q两点球坐标转化为直角坐标： P：x＝3sin·cos＝， y＝3sin·sin＝， z＝3cos＝， P点的直角坐标为. Q：x＝3sin·cos＝－， y＝3sin·sin＝，z＝3cos＝， Q点的直角坐标为. |PQ|＝ ＝，即PQ的距离为. 6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标． 【解】　以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在面BCD上建立极坐标系．过O点与面BCD垂直的线为z轴． 过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，则 BA′＝×＝，AA′＝＝， A′Bx＝－＝， 则A(，，)，B(0,0,0)，C(3，，0)，D(3，，0)． 7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来． 【解】　以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转×＝，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此点A的柱坐标为(203，，2.8)． [能力提升] 8．如图4-1-10建立球坐标系，正四面体ABCD的边长为1，求A、B、C、D的球坐标(其中O是BCD的中心)． 图4-1-10 【解】　O是BCD的中心， OC＝OD＝OB＝，AO＝. C(，，0)，D(，，)， B(，，)，A(，0,0)．