2018年《金版新学案》高一数学人教A版必修一1.3.1.1单调性.pptVIP

[题后感悟]　定义法求函数的单调区间 ①作差，因式分解； ②判断各因式符号； ③如果各因式符号确定，则函数在整个定义域上具有单调性，如果有一个因式符号不确定，则需确定分界点以确定单调区间．因式符号必须是在某个区间内恒成立，如：本例因式x1x2－9. 3.求函数f(x)＝x3＋x在R上的单调区间． [解题过程]　f(x)＝x2－2(a－1)x＋3 ＝[x－(a－1)]2－(a－1)2＋3， ∴此二次函数的对称轴为x＝a－1. ∴f(x)的单调减区间为(－∞，a－1]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝a－1必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴a－1≥4，解得a≥5. [题后感悟]　(1)二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便． (2)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法． 4.(1)在本例中将“在(－∞，4]上是减函数”改为“在[4，＋∞)上是增函数”，其他条件不变，应如何求a的范围？ (2)本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？ 解析：　(1)f(x)＝[x－(a－1)]2＋3－(a－1)2 对称轴：x＝a－1 ∵f(x)在[4，＋∞)上是增函数． ∴对称轴只需在区间的左侧， ∴a－1≤4即a≤5. ∴所求a的取值范围是a≤5. (2)函数的减区间为(－∞，1－a] ∴a－1＝4，∴a＝5. 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c，对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)．试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小． [解题过程]　∵对任意x∈R，有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴(2＋x)2＋b(2＋x)＋c＝(2－x)2＋b(2－x)＋c. ∴4x＋bx＝－4x－bx. ∴8x＋2bx＝0，即(8＋2b)x＝0对任意实数x都成立． ∴8＋2b＝0，b＝－4. ∴f(x)＝x2－4x＋c＝(x－2)2＋c－4. 即f(x)图象的对称轴为x＝2. ∴函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数． 又∵f(1)＝f(2－1)＝f(2＋1)＝f(3)，且2＜3＜4， ∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)． [题后感悟]　(1)对任意x∈R，有f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)的图象关于直线x＝a对称．如若f(3＋x)＝f(3－x)对任意x∈R都成立，则f(x)的对称轴为x＝3. (2)利用单调性比较函数值大小，务必将自变量x的值转化为同一单调区间上才能进行比较．　 1．解读函数单调性的定义 (1)定义中的关键词： ①“定义域I内某个区间D”，即函数的单调区间是其定义域的子集．单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在不同区间可以有不同的单调性； ②“对于…”，“任意…”，“都有…”，“对于”即两个自变量x1，x2，必须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有”即只要x1＜x2，就必须有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)． (2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的． 2．判定函数单调性的常见方法 (1)定义法． 这是证明或判定函数单调性的常用方法． (2)图象法． 根据函数图象的升、降情况进行判断． (3)直接法． 运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．直接判断函数的单调性，可用到以下结论： ◎已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围． 【错因】　出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的定义域，在抽象函数中满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个极易被忽视也是极易出现错误的地方，也就是说变量x首先应满足－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，在此基础上利用单调性的定义将“ f ”符号脱掉． 练规范、练技能、练速度 课后练习课堂讲义 预习学案目标定位 栏目导引 必修1 第一章 集合与函数的概念 1．3　函数的基本性质 1．3.1　单调性与最大(小)值 第1课时　单调性 1．理解函数单调性的性质． 2．掌握判断函数单调性的一般方法． 1．函数单调性的概念．(重点、难点) 2．判断函数单调性及单调性的应用．(重点) 1．一次函数y＝x的图象特征是：自左向右，图象逐渐____，y随x的增大而____；二次函数y＝x2的图象特征是：自左向右，在(－∞，0]上，图象逐渐_____，y随x的增大而____