2018年【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：2.1.2 演绎推理.docVIP

2.1.2 演绎推理 演绎推理 [提出问题] 看下面两个问题： (1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除； (2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面． 问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？ 提示：都说的一般原理． 问题2：第二句又说的什么？ 提示：都说的特殊示例． 问题3：第三句呢？ 提示：由一般原理对特殊示例作出判断． [导入新知] 1．演绎推理的概念 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况； (3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． “三段论”可以表示为： 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结论：S是P. [化解疑难] 辨析演绎推理与合情推理 (1)演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理． (2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，而且要学会猜想． 把演绎推理写成三段论的形式 [例1]　将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数． (2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°. (3)菱形对角线互相平分． (4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列． [解]　(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提) 75不能被2整除．(小前提) 75是奇数．(结论) (2)三角形的内角和为180°.(大前提) Rt△ABC是三角形．(小前提) Rt△ABC的内角和为180°.(结论) (3)平行四边形对角线互相平分．(大前提) 菱形是平行四边形．(小前提) 菱形对角线互相平分．(结论) (4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提) 通项公式an＝3n＋2，n≥2时， an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提) 通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论) [类题通法] 三段论的推理形式 三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果bc，ab，则ac.”其中，bc为大前提，提供了已知的一般性原理；ab为小前提，提供了一个特殊情况；ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果． [活学活用] 把下列推断写成三段论的形式： (1)y＝sin x(xR)是周期函数． (2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若1和2是对顶角，则1和2相等． 解：(1)三角函数是周期函数，大前提 y＝sin x(xR)是三角函数，小前提 y＝sin x(xR)是周期函数．结论 (2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提 1和2是对顶角，小前提 1和2相等．结论 三段论在证明几何问题中的应用 [例2]　已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是ABD和△BCD的重心，求证：MN平面ACD. [证明]　如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以P，Q分别是AD，DC的中点．又因为＝，所以MNPQ，又MN平面ADC，PQ平面ADC，所以MN平面ACD. [类题通法] 三段论在几何问题中的应用 (1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提． (2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论． [活学活用] 已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分BCD，DB平分CBA. 证明：等腰三角形两底角相等，(大前提) △DAC是等腰三角形，1和2是两个底角，(小前提) 1＝2.(结论) 两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提) 1和3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，(小前提) 1＝3.(结论) 等于同一个角的两个角相等，(大前提) 2＝1，3＝1，(小前提) 2＝3，即AC平分BCD.(结论) 同理可证DB平分CBA. 演绎推理在代数中的应用 　　[例3]　已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． [证明]　设x1，x2是(－1，＋∞)上