2018年【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：2.2.1 综合法和分析法.docVIP

_2.2直接证明与间接证明 22.1 综合法和分析法 综合法 [提出问题] 阅读下列证明过程，回答问题． 求证：π是函数f(x)＝sin的一个周期． 证明：因为f(x＋π)＝sin＝sin＝sin＝f(x)，所以由周期函数的定义可知，π是函数f(x)＝sin的一个周期． 问题1：本题的条件和结论各是什么？ 提示：条件：f(x)＝sin；结论：π是f(x)的一个周期． 问题2：本题的证明顺序是什么？ 提示：从已知利用诱导公式到待证结论． [导入新知] 1．综合法的定义 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 2．综合法的框图表示 ―→―→―→…―→ (P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论) [化解疑难] 综合法的特点 (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件． (2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明. 分析法 [提出问题] 阅读下列证明过程，回答问题． 求证：＋≥2＋. 证明：要证原不等式成立，只需证(＋)2≥(2＋)2，即证2≥2，该式显然成立，因此原不等式成立． 问题1：本题证明从哪里开始？ 提示：从结论开始． 问题2：证明思路是什么？ 提示：寻求每一步成立的充分条件． [导入新知] 1．分析法的定义 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． 2．分析法的框图表示 →―→―→…―→ [化解疑难] 分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件． (2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等． 综合法的应用 [例1]　已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc. [证明]　a，b，c是正数，b2＋c2≥2bc， a(b2＋c2)≥2abc. 同理，b(c2＋a2)≥2abc， c(a2＋b2)≥2abc. ∵a，b，c不全相等， b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”． 式相加得a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc. [类题通法] 综合法的证明步骤 (1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程． [活学活用] 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥9. 证明：a＞0，b＞0，a＋b＝1， ＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋＋≥5＋2 ＝5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝2b时“＝”成立. 分析法的应用 [例2]　设a＞b＞0，求证： ＋ ＞ (－)． [证明]　因为a＞b＞0，所以a2＞ab＞b2， 所以ab－b2＞0. 要证 ＋ ＞ (－ )， 只需证＞， 只需证 －＜＋. 而 ＜＋＋ 显然成立． 所以 ＋ ＞ (－)成立． [类题通法] 分析法的证明过程及书写形式 (1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可． (2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立． [活学活用] 在锐角△ABC中，求证：tan Atan B＞1. 证明：要证tan Atan B＞1，只需证＞1， A、B均为锐角，cos A＞0，cos B＞0. 即证sin Asin B＞cos Acos B， 即cos Acos B－sin Asin B＜0，只需证cos(A＋B)＜0. △ABC为锐角三角形，90°＜A＋B＜180°， cos(A＋B)＜0，因此tan Atan B＞1. 综合法和分析法的综合应用 　　[例3]　已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边， 求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. [证明]　法一：(分析法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1， 即证＋＝， 只需证＋＝3， 化简，得＋＝1， 即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 所以只需证c2＋a2＝b2＋ac. 因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列， 所以B＝60°，所以cos B＝＝， 即a2＋c2－b2＝ac成立． (a＋b)－1＋(b＋c