2018年【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：3.1.2 复数的几何意义.docVIP

3.1.2 复数的几何意义 复数的几何意义 [提出问题] 平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应． 问题1：复数z＝a＋bi(a，bR)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？ 提示：一一对应． 问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？ 提示：一一对应． 问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？ 提示：由问题1,2可知能一一对应． [导入新知] 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，bR)一一对应复平面内的点Z(a，b)； (2)复数z＝a＋bi(a，bR)一一对应平面向量＝(a，b)． 3．复数的模 复数z＝a＋bi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝. [化解疑难] 探究复数的几何意义 根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示： 复数与复平面内点的一一对应 [例1]　实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上． [自主解答]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数． (1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限． (2)当实数x满足 即2＜x＜5时，点Z位于第四象限． (3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上． [类题通法] 探究复数z对应复平面内的点的位置 如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，bR)的点，则 (1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限． (2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上． (3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内． [活学活用] 实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i的点 (1)位于x轴上方； (2)位于直线y＝x上． 解：(1)由m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5，此时z在复平面内对应的点位于x轴上方． (2)由m2＋5m＋6＝m2－2m－15，得m＝－3，此时z在复平面内对应的点位于直线y＝x上. 复数与平面向量的一一对应 [例2]　(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i　　　　　B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i (2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. 求向量，，对应的复数； 判定△ABC的形状． (1)[解析]　向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)． 由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. [答案]　B (2)[解]　由复数的几何意义知： ＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)， ＝－＝(1,1)， ＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)， ，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. ||＝，||＝2，||＝， ||2＋||2＝||2， △ABC是以BC为斜边的直角三角形． [类题通法] 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． [活学活用] (湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________. 解析：由复数的几何意义知，z1，z2的实部、虚部均互为相反数，故z2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i 复数模的计算 [例3]　求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小． [自主解答]　z1＝6＋8i，z2＝－－i， |z1|＝＝10， |z2