2018年【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：3.1.1 数系的扩充和复数的概念.docVIP

_3.1数系的扩充和复数的概念 31.1　数系的扩充和复数的概念 复数的概念及代数表示 [提出问题] 问题1：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ 提示：没有． 问题2：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗． 提示：有解(x＝±i)，但不在实数范围内． [导入新知] 1．复数的定义 形如a＋bi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 3．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，bR}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，dR)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. [化解疑难] 对复数概念的理解 (1)对复数z＝a＋bi只有在a，bR时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi. (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小． (3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件. 复数的分类 [提出问题] 问题1：复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？ 提示：b＝0. 问题2：如何用集合关系表示实数集R和复数集C? 提示：RC [导入新知] 复数的分类 (1)复数a＋bi(a，bR) (2)集合表示： [化解疑难] 1．0的特殊性 0是实数，因此也是复数，写成a＋bi(a，bR)的形式为0＋0i，即其实部和虚部都是0. 2．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗 因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件． 复数相等的充要条件 [例1]　(1)若5－12i＝xi＋y(x，yR)，则x＝________，y＝________. (2)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，yR，i为虚数单位．求实数x，y的值． [解析]　(1)由复数相等的充要条件可知x＝－12，y＝5. [答案]　－12　5 (2)[解]　根据复数相等的充要条件， 由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i， 得解得 即x＝，y＝4. [类题通法] 解决复数相等问题的步骤 (1)等号两侧都写成复数的代数形式； (2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)； (3)解方程(组)． [活学活用] 已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0求实数x，y的值． 解：由复数相等的条件得方程组 由得x＝y＋2，代入得y2＋2y－1＝0.解得 y1＝－1＋，y2＝－1－.所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－. 即或 复数的分类 [例2]　已知mR，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时， (1)z为实数？　(2)z为虚数？　(3)z为纯虚数？ [解]　(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3. (2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3. (3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2. [类题通法] 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. [活学活用] 设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时， (1)z是实数？　(2)z是纯虚数？ 解：(1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数． (2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数． 　　　　 [典例]　(上海高考)设mR，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________. [解析]　复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是 解得即m＝－2. 故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数． [答案]　－2 [易错防范] 1．若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m＝1或－2的错误结论． 2．复数z＝a＋bi(a，bR)是纯虚数的充要条件为二者缺一不可． [成功破障] 若z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1　　　　　　　　B．0 C．1 D．－1或1 解析：选A　因为z为纯虚数，所以(x2－1)2＝0，又x－1≠0，所以x＝－1. [随堂即时演练] 1．在2＋，i,0,8＋5i，(1－