2018年【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：3.2.2 复数代数形式的乘除运算.docVIP

3.2.2 复数代数形式的乘除运算 复数的乘法 [导入新知] 1．复数的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)． 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 [化解疑难] 对复数乘法的理解 (1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并． (2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数. 复数的除法 [提出问题] 问题1：复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？ 提示：两复数实部相等，虚部互为相反数． 问题2：试求z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)的积． 提示：z1z2＝a2＋b2，积为实数． 问题3：如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？ 提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘c－di，化简后可得结果． 即＝＝ ＝＋i(c＋di≠0)． [导入新知] 1．共轭复数的概念 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 2．复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则＝＝＋i(c＋di≠0)． [化解疑难] 辨析复数除法与实数除法的关系 复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)． 复数的乘除运算 [例1]　计算： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)(1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)－. [解]　(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i. (2)(1＋i) ＝(1＋i) ＝(1＋i) ＝＋i ＝－＋i. (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝ ＝＝＋i. (4)法一：－ ＝ ＝＝＝2i. 法二：－＝－ ＝i＋i＝2i. [类题通法] 复数乘除运算的常用技巧 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算． (2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似． [活学活用] (1)已知复数z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求复数(z1－z2)i的实部与虚部； (2)已知z是纯虚数，是实数，求z. 解：(1)由题意得z1－z2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i－9i)＝－2－i，则(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i.于是复数(z1－z2)i的实部是1，虚部是－2. (2)设纯虚数z＝bi(b∈R)， 则＝＝＝. 由于是实数，所以b＋2＝0，即b＝－2，所以z＝－2i. 共轭复数 [例2]　(1)若z＝，则复数＝(　　) A．－2－i　　　　　　　 B．－2＋i C．2－i D．2＋i (2)(四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　) A．A B．B C．C D．D (3)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝(　　) A．－2i B．－i C．i D．2i [解析]　(1)z＝＝＝2－i，则复数＝2＋i. (2)因为x＋yi的共轭复数为x－yi，故选B. (3)依题意得z－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. [答案]　(1)D　(2)B　(3)B [类题通法] 共轭复数的求解与应用 (1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求. (2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解． [活学活用] 已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数＝1－i，求实数a、b使az＋2b＝(a＋2z)2. 解：∵z＝1＋i，＝1－i，∴az＋2b＝(a＋2b)