2018年【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义.docVIP

_3.2复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 复数的加减法 [提出问题] 已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． 问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ 提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示：满足． 问题3：以交换律说明之． 提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i， z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i， ∴z1＋z2＝z2＋z1. [导入新知] 1．复数的加、减法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数加法的运算律 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [化解疑难] 对复数加减法的理解 1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了． 2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形． 3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i＝3. 复数加、减法的几何意义 [提出问题] 如图，分别与复数a＋bi，c＋di对应． 问题1：试写出、及＋，－的坐标． 提示：＝(a，b)，＝(c，d)， ＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)． 问题2：向量＋，－对应的复数分别是什么？ 提示：向量＋对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2，向量－对应的复数是a－c＋(b－d)i，也就是z1－z2. [导入新知] 复数加、减法的几何意义 如图：设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 ，与z1－z2对应的向量是 . [化解疑难] 对复数加减运算几何意义的认识 复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则，由复数加减法的几何意义可得如下结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 复数的加、减运算 [例1]　计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋i)＋(1＋i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． [解]　(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋i)＋(1＋i)＝(－1＋1)＋(＋)i＝2i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. [类题通法] 复数的加、减运算的技巧 复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行． [活学活用] 计算下列各题． (1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)； (2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)． 解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i. (2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5－…－2 010＋2 011－2 012)i＝1 006－1 007i. 复数加、减运算的几何意义 [例2]　已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC、BD的长． [解]　如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以||＝|7＋2i|＝＝，因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以||＝|5－12i|＝＝13. 故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13. [类题通法] 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)． [活学活用] 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 解：复数z