2018年【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案：2.2.2 反 证 法.docVIP

2.2.2 反 证 法 反证法 [提出问题] 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？ 提示：运用了反证法的思想． 问题2：反证法解题的实质是什么？ 提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确． [导入新知] 1．反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． [化解疑难] 1．反证法实质 用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示： ―→―→―→ 2．反证法与逆否命题证明的区别 反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“pq”与“綈q綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q綈p”为真命题来说明命题“pq”为真命题，证明过程不出现矛盾． 用反证法证明否定性命题 [例1]　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根． [证明]　假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(nZ)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数． n，an＋b均为奇数，又a＋b为偶数， an－a为奇数，即a(n－1)为奇数， n－1为奇数，这与n为奇数矛盾． f(x)＝0无整数根． [类题通法] 1．用反证法证明否定性命题的适用类型 一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明． 2．反证法的一般步骤 用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤： (1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； (2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾； (3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立． 即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真． [活学活用] 设a，b，c，dR，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1. 因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0， 即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0， 所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾． 故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 用反证法证明唯一性命题 [例2]　已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． [证明]　根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明． (1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面α，AC平面α，aα，所以ABa，ACa，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． (2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB平面α，AC平面α，BCα，所以ABBC，ACBC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线． [类题通法] 用反证法证明唯一性命题的适用类型 (1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单． (2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面． [活学活用] 用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行． 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行． 假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即