2018年北京市房山区高二数学(文)1.4《生活中的优化问题举例(2课时)》教案(人教B版).docVIP

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2018年北京市房山区高二数学(文)1.4《生活中的优化问题举例(2课时)》教案(人教B版)

教学目标: 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用教学难点:教学过程:利润最大、用料最省、效率最高等 三.典例分析 例1.汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量(单位:L)与汽车的速度(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量是汽车速度的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题: 是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? “汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用表示每千米平均的汽油消耗量,那么,其中,表示汽油消耗量(单位:L),表示汽油行驶的路程(单位:km).这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少”,就是求的最小值的问题. 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究, 人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率 (即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的 平均速度(单位:km/h)之间有 如图所示的函数关系. 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率(即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度(单位:km/h)之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题. 解:因为 这样,问题就转化为求的最小值.从图象上看,表示经过原点与曲线上点的直线的斜率.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为90. 因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,此时的车速约为90.从数值上看,每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即,约为 L. 例2.磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit)。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于,每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题:现有一张半径为的磁盘,它的存储区是半径介于与之间的环形区域. 是不是越小,磁盘的存储量越大? 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于与R之间,由于磁道之间的宽度必需大于,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达。所以,磁盘总存储量 × 它是一个关于的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是越小,磁盘的存储量越大. 为求的最大值,计算. 令,解得 当时,;当时,. 因此时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 分,其中 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?    (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 解:由于瓶子的半径为,所以每瓶饮料的利润是 令 解得 (舍去) 当时,;当时,. 当半径时,它表示单调递增,即半径越大,利润越高; 当半径时, 它表示单调递减,即半径越大,利润越低. 半径为cm 时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值. 半径为cm时,利润最大. 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现? 有图像知:当时,,即瓶子的半径为3cm时,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等;当时,利润才为正值. 当时,,为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于2cm时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为cm 时,利润最小. 说明: 四.课堂练习 1.用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.(高为1.2 m,最大容积) 5.课本 练习 五.回顾总结 1.利用导数解决优化问题的基本思路: 2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过

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