2018年北京市房山区高二数学（理）2.2.2《间接证明--反证法》教案（人教B版）.docVIP

1．教学目标： 知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。了解反证法的思考过程、特点反证法的思考过程、特点例1、已知直线和平面，如果，且，求证。 证明：因为, 所以经过直线a , b 确定一个平面。 因为，而， 所以 与是两个不同的平面． 因为，且， 所以. 下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾．所以 . 点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：． 例2、求证：不是有理数 分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质， ”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有, 因此，， 所以 m 为偶数．于是可设 ( k 是正整数），从而有 ，即 所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数． 正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。 例3、已知，求证：（且） 证明：假设不大于，即或. ∵a＞0，b＞0 ∴由 (注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?) a＜b(推理利用了不等式的传递性). 又由 但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾. ∴成立. 例4、设，求证 证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。 例5、设二次函数，求证：中至少有一个不小于. 证明：假设都小于，则 （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。 议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 巩固练习：第83页练习3、4、5、6 课后作业：第84页 4、5、6 教学反思： 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。???? 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 虽然分析法和综合法的解题思路是相反的，但在实际解题过程中，分析法和综合法是相互联系的。用分析法思考的时候，要注意应用题里的已知条件，哪两个数量配合可以解决什么问题，以便提出恰当的中间问题；用综合法思考的时候，要注意应用题最后要解决的问题，以便使新的已知条件成为解决最后问题的需要。因此，分析中有综合，综合中分析，解答应用题时，两种方法要结合使用。 1．设0 a, b, c 2，求证：(2 ( a)c, (2 ( b)a, (2 ( c)b,不可能同时大于1 反证法：(2 ( a)c1, (2 ( b)a1, (2 ( c)b1,则(2 ( a)c(2 ( b)a(2 ( c)b1 …① 又因为设0 a, b, c 2，(2 ( a) a, 同理 (2 ( b) b≤1, (2 ( c) c≤1,所以(2 ( a)c(2 ( b)a (2 ( c)b≤1此与①矛盾 2．若x, y 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2 反证法：设≥2，≥2 ∵x, y 0，可得x + y ≤2 与x + y 2矛盾。 3．设0 a, b, c 1，求证：(1 ( a)b, (1 ( b)c, (1 ( c