2018年北京市第四中学高中数学选修2-1:椭圆基本性质 知识讲解A.docVIP

2018年北京市第四中学高中数学选修2-1:椭圆基本性质 知识讲解A.doc

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2018年北京市第四中学高中数学选修2-1:椭圆基本性质 知识讲解A

椭圆的性质 【学习目标】 1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质. 2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程. 3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题. 【要点梳理】 椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、―y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1(―a,0),A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。 ③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作。 ②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2。 要点诠释: 椭圆的图中线段的几何特征(如下图): (1),,; (2),,; (3),,; 椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中,a、b、c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:a>b>0,a>c>0,且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆: a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关,这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题,将有关线段、、,有关角()结合起来,建立、之间的关系. 椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点[来源:学优高考网] , , 焦距 范围 , , 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 , , 轴 长轴长=,短轴长= 离心率 要点诠释:椭圆,(a>b>0)的相同点为形状、大小都相同,参数间的关系都有a>b>0和,a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同; 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x2、y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。 直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分:椭圆上、椭圆内、椭圆外,因此,平面上的点与椭圆的位置关系有三种,任给一点M(x,y), 若点M(x,y)在椭圆上,则有; 若点M(x,y)在椭圆内,则有; 若点M(x,y)在椭圆外,则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组,消元转化为关于x或y的一元二次方程,其判别式为Δ. ①Δ>0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点); ②Δ=0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点); ③Δ<0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点. 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点,则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理,需作以下变形: 【典型例题】 类型一:椭圆的简单几何性质例1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且,求椭圆的方程。 【解析】 椭圆的长轴长为6,,所以点A不是长轴的顶点,是短轴的顶点,所以|OF|=c,,, 所以c=2,b2=32-22=5, 故椭圆的方程为或。 灵活运用椭圆的几何性质:①a2=b2+c2;②长轴长2a,短轴长2b,进行求参数的值或求椭圆的方程. 举一反三:【高清课堂:椭圆的性质 例1】 【变式1】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.【变式2】长轴长等于20,离心率等于,求椭圆的标准方程。 【答案】或【变式3】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点在x轴上,离心率为.过点的直线l交C于A,B两点,且的周长为16,那么C的方程为______ 【答案】。 类型二:求椭圆的离心率或离心率的取值范围 例2.(1)已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段,求其离心率; (2)已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4,求其离心率。 【解析】

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