2018年北京市第四中学高中数学选修2-1：椭圆基本性质 知识讲解B.docVIP

椭圆的性质 【学习目标】 1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质. 2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程. 3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题. 【要点梳理】 椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。 ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 要点诠释： 椭圆的图中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3）,，； 椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质[来源:学优高考网] 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 要点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y）， 若点M（x,y）在椭圆上，则有； 若点M（x,y）在椭圆内，则有； 若点M（x,y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【典型例题】 类型一：椭圆的简单几何性质 例1.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆. 【解析】根据椭圆的标准方程，得 因此，长轴长，短轴长 ∴离心率， 焦点为F1（―4，0）和F2（4，0），顶点为A1（―5，0），A2（5，0），B1（0，―3），B2（0，3）。 将方程变形为（―5≤x≤5），根据（－5≤x≤5）可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标（x，y），列表如下： x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图2-2-9）。 由已知方程可确定椭圆在四条直线x=±5，y=±3所围成的矩形框内，以两坐标轴为对称轴，原点为对称中心，所以只需画出椭圆在第一象限的图形，就可画出椭圆。 举一反三： 【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=____. 【答案】7 【高清课堂：椭圆的性质 例1】 【变式2】求椭圆16x2+25y2=400的长轴