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2018年江苏省高中数学教案 苏教版必修一 第一章《集合与函数的概念》1.2 子集、全集、补集
1.2 子集、全集、补集
一、 学习内容、要求及建议
知识、方法 要求 建议 子集 有限集的子集个数公式 理解 子集中不要遗忘空集,分类讨论思想和数形结合思想在解题中有很重要的运用. 全集、补集 文氏图 理解 二、 预习指导
1. 预习目标
(1)了解集合间的包含关系, 全集和空集的意义;
(2)理解子集、真子集和补集的概念及意义;
(3)重视分类讨论思想以及数形结合思想的运用,借助数轴、文氏图解决问题.
2. 预习提纲
(1)通过观察具体的集合,从“数”和“形”两个方面感受并归纳出集合与集合之间的包含关系.
(2)先考察元素个数比较少的集合的子集个数,然后猜想归纳n个元素的集合的子集个数.
(3)试用Venn图探求补集具有的性质.
(4)课本例1要求写出一个两元素集合的所有子集,可以按子集中的元素个数0,1,2的顺序分别列出,注意不要重复和遗漏,特别是不要遗漏空集和原集合本身,当然也可以用有限集的子集个数公式进行检验(n个元素的集合有2n个子集);例2是判断集合之间是否具有包含关系,用列举法表示的集合间关系容易判断,而要判断用描述法表示的集合间的关系,有时会用到数轴;例3把求一元一次不等式组的解集、求补集这两个问题融合在一起,并将集合表示在数轴上,数形结合,注意实心点与空心点的区别.
3. 典型例题
例1 写出集合的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
解:子集为:.
真子集:.
点评:该题虽然简单,但在解题过程中常常漏掉空集与集合本身,一定要予以相当的关注.
例2 若集合.分别求出当全集为下列集合时的.
(1); (2);(3).
分析:用不等式表示的实数可以在数轴上表示出来,再根据补集的概念,求补集实质上就是利用“不满足”“相反”去求出其补集.
解:集合在数轴上可表示为:
(1)当时, =;
(2)当 时,=;
(3)当 时,=.
点评:画数轴,表示不等式是 “”、“”或“”、“”或某一点时,一定要注意区分是空心点还是实心点,同时要注意所求区间端点能否取到.
例3 已知集合,且集合中至多有一个奇数,求满足条件的集合.
分析:“至多有一个奇数”的含义是:只有一个奇数或不含奇数.
解:根据题意,对集合分三种情况讨论:
①集合是空集;
②集合不含奇数,为;
③集合只含有一个奇数,为.
所以满足条件的集合共有6个,分别为.
点评:解答这样一类集合问题时,常常会被遗漏.
例4 写出满足关系{1,2}A{1,2,3,4,5}的所有集合A的个数.
分析:本题等同于求{3,4,5}的所有子集的个数,因为{3,4,5}的任意一个子集再添加元素1,2后得到的就是满足条件的集合A.
解:{3,4,5}中共有3个元素,故它有即8个子集,所有这些子集均添加元素1和2,
得到的就是满足条件的所有集合A, 所以集合A的个数为8.
推广:求满足条件:,()的集合A的个数.
例5 (1)已知全集,子集,且,求实数;
(2)已知全集,如果,则这样的实数是否存在?若不存在,请说明理由.
分析:对于第1小题,要深刻理解补集的定义,注意到 ,,注意集合和的相同点与不同点,由全集、补集的定义,列方程组求解.对于第2小题,属于探索性问题,这类问题的解法常常是假设这样的问题存在,从此出发,依据相关的的条件、性质和定理等进行推理论证,推出一个明显的结论,在根据这个结论是否与条件、性质、定理、假设等矛盾,得出最终结果.
解:(1)由补集的定义得,解得.
(2),且.,即,
,或,或.
当时, ,则A中有重复的元素,故;
当时,, ,;
当时,,,故.
综上:所求的实数存在,此时,.
4. 自我检测
(1)已知集合, 则A与B之间最恰当的关系是 .
① ② ③.AB ④ AB
(2)设集合,,若,则的取值范围是 .
(3)已知集合, . 若x0∈M,则x0与N的关系是 .
(4)已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若QP,那么a的值是 .
(5)已知集合,则集合A的真子集的个数是 .
(6)已知A={2,3},M={2,5,},N={1,3, },AM,且AN,求实数a的值.
(7)设全集,而且
求,.
三、课后巩固练习
A组
1.设M={正方形},T={矩形},P={平行四边形},H={梯形},下列包含关系
中不正确的是①;②;③;④.
2.写出集合{(-2,3),(3,-2)}的所有子集______________________________.
3.若S={x|x=2n+1,n∈Z},T={x|x=4k±1,k∈Z},则S,T的关系_______.
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