数值计算方法第2版 第5章 曲线拟合的最小二乘法.ppt

* 第5章 曲线拟合的最小二乘法 5.1 最小二乘法原理 5.2 超定方程组的最小二乘解 5.3 可线性性化模型的最小二乘拟合 5.4 多变量的数据拟合 5.5 多项式拟合 5.6 正交多项式及其 最小二乘拟合 5.1 最小二乘原理 设已知某物理过程y=f(x)在m个互异点的观测数据 求一个简单的近似函数φ(x)，使之 “最好”地逼近f(x)，而不必满足插值原则。称函数y= φ(x)为经验公式或拟合曲线。这就是曲线拟合问题。 y1 y2 ….. ym yi x1 x2 ….. xm xi 5.2 超定方程组的最小二乘解 设线性方程组 (mn) 即 如果有向量x使得 达到最小，则称x为超定方程组的最小二乘解。 定理 超定方程组Ax= b 存在最小二乘解，且即为方程组ATAx = ATb 的解。当A的列向量线性无关时ATA非奇异，这时有唯一的解。 称方程组ATAx= ATb 为方程组Ax = b 的正则方程组、正规方程组、法方程组 曲线拟合的最小二乘法可以看成求下述超定方程组的最小二乘解的问题 简写为 一般计算步骤 (1)计算 ，其中 (2)计算ATA, ATb ，形成法方程组ATAx = ATb (3)求解法方程组，输出 a1 ,a2 ,…,an,构成 5.3 可线性性化模型的最小二乘拟合 例 已知观测数据(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6) ，试用最小二乘法求形如 的经验公式。 解 作超定方程组 即 法方程组为 求得 a=1.537650114 b= －6.432976311 所求经验公式为 5.5 多项式拟合 1 直线拟合 作超定方程组 n 记号?指对i从1到n取和 法方程组 2 二次拟合、抛物拟合 作超定方程组 有 法方程组 3 一般情形 超定方程组的系数矩阵 例 给定函数y=f(x)的实例数据表。 试用最小二乘法求二次拟合多项式。 解 设二次拟合多项式 写出其正则方程组 2 3 6 7 5 3 2 y 1 2 3 4 6 7 8 x 将计算结果代入正则方程组 解得 a0=- 1。3185 , a1= 3.4321 , a2=-0.3864 二次拟合曲线