概率论与数理统计（经管类第三版）吴赣昌第5章 数理统计的基础知识.ppt

第五章 数理统计的基础知识 数理统计的基本概念 常用统计分布 抽样分布 5.1 数理统计的基本概念(p104) 从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机向量的分布。即一个具有确定概率分布的随机变量或随机向量。 一、总体和总体分布 在数理统计中，把所研究的对象的全体称为总体。 通常指研究对象的某项数量指标，一般记为X。 把总体的每一个基本单位称为个体。 如全体在校生的身高X，某批灯泡的寿命Y。 对不同的个体，X的取值是不同的。X是一个随机变量或随机向量。X或Y的分布也就完全描述了我们所关心的指标，即总体的分布。为方便起见，我们将X的可能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称X为总体。X的分布也就是总体的分布。 二、样本和样本分布(P105) 从总体X中抽出若干个个体称为样本，一般记为(X1,X2,…,Xn)。n称为样本容量。而对这n个个体的一次具体的观察结果——(x1,x2,…,xn)是完全确定的一组数值，但它又随着每次抽样观察而改变。(x1,x2,…,xn)称为样本观察值。 如果样本(X1,X2,…,Xn)满足 (1)代表性：样本的每个分量Xi与X有相同的分布； (2)独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量， 则称样本(X1,X2,…,Xn)为简单随机样本。 设总体X的分布为F(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布为 当总体X是离散型时，其分布律为 样本的联合分布律为 当总体X是连续型时， X~f(x)，则样本的联合密度为 三、统计推断问题简述（P107) 总体、样本、样本观察值的关系 总体 样本 样本观察值 理论分布 统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体。 例5.1 设 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本， 求(X1,X2,…,Xn)的密度。(p106/例2） 解 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，故 例5.2 设某电子产品的寿命X服从指数分布，密度函数 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，求其密度函数。 解 因为(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本， 例5.3 某商场每天客流量X服从参数为λ的泊松分布，求其样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布律。 解 四、统计量（P110) 样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我们并不直接用样本进行推断，而需对样本进行“加工”和“提炼”，将分散于样本中的信息集中起来，为此引入统计量的概念。 (X1,X2,…,Xn) g(X1,X2,…,Xn) 其中g(x1,x2,…,xn)是(x1,x2,…,xn)的连续函数。 如果g(X1,X2,…,Xn)中不含有总体分布的未知参数，称g(X1,X2,…,Xn)为统计量。 （不含未知参数的样本的函数） 例 未知， (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本 均为统计量 不是统计量 若μ已知，σ2未知， (X1,X2,…,X5)为X的一个样本， 均为统计量 五、常用统计量（P110） 样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 一、分位数 5.2 常用统计分布（P114) 定义:设r.v.X的分布函数为F(x), 对给定的实数 阅读P117/例1 二、 ?2—分布（P116) 1、定义：设n个相互独立的r.v. X1,X2,…,Xn，Xi~N(0,1)，i=1,2,…,n 则 称为自由度为n的?2分布。 结论：n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从?2(n)。 ?2—分布的密度函数f(x)为曲线 2、性质 (1) (2) ?2分布具有可加性: 若 且X1,X2 相互独立，则X1+X2 ~?2(m+n) 例5.4 (X1,X2,X3)为X的一个样本 求 的分布。 解 因为(X1,X2,X3)为X的一个样本， 则 i=1,2,3 (3) ?2分布的分位数 1、定义 若X~N(0, 1)，Y~?2(n)，X与Y独立，则 t(n)称为自由度为n的t分布。 三、 t—分布（P119） 例5.5 (X1,X2,X3)为X的一个样本，求 的分布。 i=1,2,3 t(n) 的概率密度为 2、基本性质 (1) f(x)的图形关于纵轴对称； (2) f(x)的极限为N(0,1)的密度函数，即 3、t分布的分位数 注: 例2. 设总体X服从N(0,1)，样本X1,X2，…，Xn来自总体X，试求常数c使统计量 服从t分布. 四、 F—分布（P120）　 1、定义 若X~?2(m)，Y~?