数论ch0-绪论.pptVIP

自我介绍 张习勇 信息工程学院 四系一教 电话：(635)31644(O); (635)31420(H) E-mail: xiyong.zhang@ 主要从事代数学、密码学方向课程的教学工作，以及应用代数、数论和密码理论的研究工作。 数论问题例子 10000天后的今天是礼拜几，是公历几号？ 《孙子算经》（公元3－4世纪）：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 证明9能被221145587722整除，该数除以11等于几？ 3^100的个位数、十位数是多少？ 百鸡问题（公元5世纪，我国张丘建） 凡是大于4的偶数都是两个奇素数的和（Goldbach猜想） 若x^n+y^n=z^n，当n2时无整数解（Fermat猜想，1995年由Wiles证明） 课程要求 1、预习。大学学习之重要环节。培养自学能力最佳途径，当重视之。参考书：不需要。 2、上课认真听课,努力争取当堂知识当天掌握，适当做笔记。 3、认真完成作业。学数学就要做数学，通过做作业可以提高对知识的理解能力，使自己对各种定理的内涵有更深的理解，要求认真、工整、按时按量完成。 4、做好小结，经常复习，巩固所学知识，建议每一章学完后都做一次小结。 初等数论 绪论 数的发展史 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 复数集 C 数论简介 数论是研究整数性质和方程（组）的整数解的一门学科. 数学中最古老的分支之一 属于基础数学学科 应用广泛: 计算机科学、组合数学、代数编码、信号数字处理,密码学等. 高斯(德 1777-1856): 数学是科学的皇后, 数论是数学的皇后. 数论发展简史 起源于东方，大约有3000年的历史。 我国最早的数学名著《周髀(易)算经》记载了西周人商高知道方程x2+y2=z2的解。 我国古代《孙子算经》（公元4－5世纪）中给出了解一次同余式组的算法，也叫孙子定理。 公元前三世纪，古希腊人Euclid在《几何原本》中证明了素数是无穷多的，特别重要的是给出了求两个正整数的最大公因子的算法；丢番图(Diophantus)（公元3世纪）在《算术》中列举了一次和二次方程的求解问题。 从十七世纪到十九世纪，Fermat、Euler、Legendre、Gauss等人的工作大大丰富和发展了数论…… 这些人的成果大致构成了现在数论的基本内容。 初等数论研究内容 整数的唯一分解定理 中国剩余定理 二次互反律 I. 整除理论(古希腊) 数论的研究在内容上是从数的可约性开始的, 整除性理论被称作是数论中最古老的内容也是初等数论的基础, 它是在带余数的除法的基础上建立起来的. 整除理论的中心内容是算术基本理论和最大公约数理论, 反映了近代数学中十分重要的思想, 概念和方法. I. 整除理论(古希腊) (公元前三世纪) 欧几里德(Euclid)在《几何原本》中给出了最古老的算术基本定理: 任一合数都为某素数整除. 他还证明了素数的个数是无穷的, 并给出了求两个正整数的最大公因数的算法(即现在的Euclid算法). (公元100年) 尼可马修斯的《算术入门》是数学历史上第一部数论典籍, 书中介绍了著名的“厄拉多塞筛法”. 我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次按1～3报数，第二次按1～5报数，第三次按1～7报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为“鬼谷算”、 “隔墙算”、“秦王暗点兵”等。 II.中国剩余定理 II.中国剩余定理 中国剩余定理也称“孙子定理”, 起源于《孙子算经》(约公元400年)中的一个著名的问题: “今有物未知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?” 该问题涉及到同余理论, 它是由我国最早研究并取得辉煌理论成就的数论课题. 解同余式组 秦九韶在《数书九章》第一章“大衍术”中给出了如何求一次同余式组的方法 “大衍求一术”. (失传达五百年, 由清朝黄宗宪等重新发现) 直到1801年, 高斯(德, Gauss)在《算术研究》才作出了与秦九韶相同的结果. III. 二次互反律 高斯(德, Gauss)在《算术研究》中证明了二次互反律、原根存在的充要条件等重要结果. 对二次互反律和高次互反律的研究, 促进了代数数论和类域论的发展. IV. 近代数论的发展 1. 费马与数论 (Fermat, 法国, 1601?1665) “费马小定理”(1640年): 若p是素数且a与p互素, 则 p︱(ap ? a). “费马大定理” (1637年)