数论作业.pptVIP

§3. 1 同余的概念和性质 09数本一班 李鹏鹏 2009562017 李超 2009562024 §3. 1 同余的概念和性质 §3. 1 同余的概念和性质 在日常生活中,有时我们注意的常常不是某些整数,而是这些整数用某一个固定的整数去除所得到的余数.例如本月2日是星期3,那么9日,16日,…都是星期3,这是因为它们用7除后得到的余数都是2.在我国古代的干支纪年也是这样的,它是以60作为除数的纪年法.这样,在数学中就产生了同余的概念.同余概念是Gauss在1800年前后创立的. §3. 1 同余的概念和性质 一、同余的定义 假定两个整数a,b对于正整数m，有 a＝mq1+r1 ,( 0≤r1m )， b＝mq2+r2，( 0≤r2m )， 并且　　　　　　r1 ＝ r2 , 那么我们就称a 与b 对(关)于模m同余,用符号表示为 a = b (modm)或a =b (m). 假定上面的r1 ≠ r2, 我们就说两个整数a 与b关于模 m不同余,用符号 a ≠ b (modm)或a ≠ b (m)表示 例如,31 = 9(mod11),31 =9(mod10). 由上例可知，同样的两个数关于不同的模同余关系可能不相同． §3. 1 同余的概念和性质 同余的等价定义 1、 a = b (modm)； 2、存在整数q，使得：a=b+mq成立； 3、存在整数p、q，使得：a=mp+r、b=mq+r。 §3. 1 同余的概念和性质 二、同余的性质 1、反身性（自反性）：a=a(modm); 2、对称性： 若a=b(modm)，则：b=a(modm); 3、传递性：若a=b(modm)， b=(modm)，则： a=c(modm); §3. 1 同余的概念和性质 三、同余的运算法则 二个同模的同余式能够象等式一样进行加、减和乘等运算. 设a、b、c、d是整数， a=b(modm)， c=d(modm),则： 1、a+c=b+d(modm) 2、a*c=b*d(modm) 3、a+b=c(modm),则:a=c-b(modm) §3. 1 同余的概念和性质 结论： 1、 a=b(modm),d/m,d0,则： a=b(modd) 2、 a=b(modm),k0,k为实数，则： ak=bk(modmk) 3、 a=b(mod 4、 5、 §3. 1 同余的概念和性质 同余的定理 §3. 1 同余的概念和性质 例题分析 例一：已知 x+y≡7(mod5), x≡3 (mod5)，求对于模 5与y同余的整数． 解 因为 x+y≡7(mod5)，x≡3 (mod5)， 由定理3. 5得 x+y－x≡ 7－3=4(mod5)， 即 y≡ 4(mod5)．因此对于模数5，与y同余的整数是4+5t(t为任意整数). §3. 1 同余的概念和性质 例二：巳知 x≡2(mod5)，求证：2x2－x+3≡4(mod5) 证明： 因为x≡2(mod5)，所以 x2≡22 ≡ 4(mod5 )， 2 x2≡8≡3 ( mod5)，而－x≡－2(mod5)， 因此, 2x2－x+3≡2×22－2＋3≡9≡4(mod5) . §3. 1 同余的概念和性质 例三：求下列各数被7除后的余数； (1) 71427 X 19， (2) 476 解 ： (1) 因为 7≡14≡0(mod7)， 71427≡6(mod7)，19≡5(mod7)， 所以 71427 X 19≡6 X 5=30≡2(mod7)， 即71427 X 19≡7除的余数为2； (2) ∵ 47 ≡ 5(mod7), 472≡52 ≡ 4 (mod7), 所以 476=(472)3≡43=64≡ 1(mod7), 即 476被7除的余数为1． §3. 1 同余的概念和性质 例四：求1350分别被5，11除所得的余数． 解 ：因为13≡3(mod5)， 34 ≡1(mod5)， 所以 350=348X 32≡ (34)12 X 9≡4(mod5)．又因为13≡2(mod11)，25≡10(mod11)，102≡1(mod11)，所以