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第八章 数论及其猜想的意义 数论的定义 所谓数论，就是以整数为研究对象，用数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其他数来表示的观点来研究数的一门数学科学。因此可以说数论是研究整数按一定形式构成的数系的科学。 数论是雅俗共赏的数学分支。 §1、数论发展简介 从研究方法划分，数论可分为初等数论、解析数论、代数数论、几何数论和超越数论。 初等数论（1） 初等数论的历史悠久， 毕达哥拉斯曾对数的整除性做过系统的研究，研究成果被欧几里得记载于《几何原本》第7、8、9篇里，欧几里得还证明了算术基本定理； 数学史上第一本数论典籍《算术入门》是尼可马修斯（Nicomachus，公元1世纪，古希腊）写的； 初等数论（2） 丢番图写的《算术》中，也有许多关于数论的命题。 同余是数论的重要概念 商高知道 x2+y2=z2至少有一组正整数解（3，4，5），《九章算术》则给出了8组勾股数 1640年，费马给出了费马小定理：如果是p质数，且整数a与p互质，则ap-a是p的倍数。欧拉1736年首先证明了这个命题，1760年又将它推广到合数的情形。 初等数论（3） 1772年拉哥朗日证明了费马给出的又一定理：每一个正整数都能够表示成4个整数的平方和； 1798年，勒让德的第一部数论的教科书出版； 1801年高斯著名的《算术探讨》一书问世； 初等数论（4） 数学家们研究数论，方法争奇斗艳，异彩纷呈。但初等数论一般不借助于其他数学分支知识，只依靠算术方法对整数性质进行研究。 解析数论 解析数论是用数学分析作工具来研究数论的。18世纪欧拉用无穷级数知识证明“质数有无穷多个”。不久，他又提出母函数法，利用幂级数来研究整数分析，导致了圆法及指数和方法的产生。 1837年、1837年狄里赫利两次用分析方法创立了被人们公认的狄里赫利（剩余）特征、狄里赫利L函数，从而奠定了解析数论的基础。 20世纪30年代，维诺格拉托夫（1891-1983，苏）提出“三角和方法”---一个重要的方法。 代数数论 代数数论是以代数整数（或代数数域）为研究对象的，不少整数问题的解决要借助于或归结为代数整数的研究。因此，代数数论是整数研究的发展。它主要起源于对费马猜想的研究。库麦（1810-1893，德）在探求解决费马猜想时引进了“理想数”的概念，随后他证明了每个“理想数”可以唯一地分解成质因子的乘积。因而建立了分圆域上的数论，为代数数论奠定了基础。 高斯为代数数论的发展作出了积极的贡献。 几何数论（1） 几何数论又叫数的几何，是应用几何方法研究数论问题的。17-18世纪，高斯与拉格朗日已经用几何观点研究二次型的算术性质。 1891年闵可夫斯基（1864-1909，德）发表了几何数论的第一篇论文，并于1896年出版了《数的几何》一书，为几何数论奠定了基础。 几何数论（2） 几何数论所研究的“空间格网”是：在给定的直角坐标系中，坐标全是整数的点，叫做整点，全部整点构成的组叫做空间格网。 这种研究可以解决用离散量去逼近连续量或反过来可以用连续量去估计离散的量。 超越数论（1） 超越数论是以超越数为研究对象的。1744年欧拉证明了自然对数的底 是无理数。1761 年兰伯特证明了圆周率 是无理数。刘维尔在对超越数的研究中，发现无理代数数的有理逼近的精密性有一个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超越数。例如 都是超越数。1822年林 德曼证明了 是超越数。 超越数论（2） 19世纪超越数论的最高成就是林德曼—维尔斯特拉斯定理：如果a1，a2，…，an是不同的实的或复的代数数，B1，B2，…，Bn是非零代数数，则 　　　由此导出一个重要结果之后就能推出许多超越数。 §2、费马及费马猜想 费马是业余数学家 他近３０岁才在公务之余认真研究数学 “近代数论之父” 他和笛卡儿分享着创立解析几何的荣誉 他和帕斯卡一起奠定了古典概率论的基础 费马谦虚、好静，生前很少发表自己的著作，其成果主要写在阅读过的数学书的边沿和空白处或写在给朋友的信件中，也有一些散落在旧纸堆中。 费马猜想 费马猜想（或称费马最后定理，费马大定理）：xn+yn=zn，n＞2没有整数解。这个猜想大约在1637年写在丢番图所著《算术》第二卷命题8“将一个平方数分成两个平方数之和”的旁边。他写到：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或一般地将一个高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”。但是他的儿子在他去世后，翻箱倒柜，也没有找出这个“美妙”的证明。 有关费马猜想的证明（1） 费马猜想从1670年发表到1840年拉梅证明n=7情形为止的1