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第五讲 平面的投影 平面的表示方法 几何元素表示法 用迹线表示 平面的投影特性 2.平面在三投影面体系中的投影特性 平面上的直线和点 f? h? a b c d e f h a? b? c? d? e? 定 理 2 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必然相互平行。 * 2. 迹线表示法 ● ● ● ● ● ● a b c a? b? c? 不在同一直线上的三个点 ● ● ● ● ● ● a b c a? b? c? 直线及直线外一点 a b c a? b? c? ● ● ● ● ● ● d ● d? ● 两平行直线 a b c a? b? c? ● ● ● ● ● ● 两相交直线 ● ● ● ● ● ● a b c a? b? c? 平面图形 用几何元素表示 迹线： 平面与投影面的交线。 平面与V、H、W面的交线分别称为正面迹线PV 、水平迹线PH、侧面迹线PW。 平行 垂直 倾斜 ⒈ 平面对一个投影面的投影特性 平面平行于投影面 -- 投影反映实形 平面垂直于投影面 -- 投影为一条直线 平面倾斜于投影面 -- 投影为一类似图形 实形性 积聚性 类似性 平面在三投影面体系中的位置：三类七种面 （1）投影面垂直面 （2）投影面平行面 （3）一般位置平面 平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面 与三个投影面都倾斜 正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面 垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面 正垂面：垂直于V面，与H、W面倾斜 铅垂面：垂直于H面，倾斜于V、W面 侧垂面：垂直于W面，倾斜于V、H面 总结：投影面垂直面的投影特性 1、在其所垂直的投影面上的投影为一倾斜的直线（积聚性），与投影轴的夹角反映空间平面对投影面的实际倾角； 2、另外两个投影不反映实形，为类似形。 正平面：平行V面，与H面、W面垂直 水平面：平行于H面，与V、W面垂直 侧平面：平行于W面，与V、H面垂直 总结：投影面平行面的投影特性 1、在其所平行的投影面上的投影反映实形（真实性） 2、另外两个投影积聚为平行于相应投影轴的直线。 一般位置平面 投影特性： 三个投影都为缩小的类似形； 2. 三个投影都不能反映α、β、γ的真实大小。 1. 平面上取直线 判断直线在平面上的方法： 定理一：若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 定理二： 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线必在该平面内。 a b c b? c? a? a b c b? c? a? d? m n n? m? d 例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。 解法一 解法二 根据定理二 根据定理一 有多少解？ 有无数解。 例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10cm。 n? m? n m 10 c? a? b? c a b 唯一解！ 有多少解？ 2. 平面上取点 定理：若点在平面上，则该点必在平面内的一条直线上。 面上取点的方法：在平面内作辅助线法 先找出过此点而又在平面的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 ② ● a b c a’ b? k? c? d? k ● d 通过在面内作辅助线求解 例2 已知平面 ABC，试判断点D是否属于该平面。 d? d a? b? c? a b c e e? b c k a d a? d? b? c? a d a? d? b? c? k? b c 例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。 解法一 解法二 第六讲 几何元素之间的相对位置 相对位置包括：平行、相交、垂直 一、平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行 包括 1. 直线与平面平行 定 理 若直线平行于平面内一直线，则该直线与此平面必相互平行。 反之，若直线平行于平面，则在该平面内必可作一直线与该直线平行。 a b c a b c k k d l l d 例题：过点K作直线平行已知平面。 a b c a b c k k m m n n 可作多少条直线？ d d 无数条 正平线 例题：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。 c? ● ● b? a? m? a b c m n 唯一解 n? 例题： 试判断直线AB是否平行于给定平面 f g? f? g b? a? a b c? e? d? e d c 结论：直线AB不平行于给定平面 a b c b c a e f d f d e g g 2. 平面与平面平行 定 理 1 若一平面内的两相交直线对应平行于另一平面内的两相交直线，则该两平面平