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1 Chapter 1: Topological Vector Spaces 《泛函分析》（by W.Rudin ）习题解答 Chapter 1 1.Proof. (a)取z x  y,那么x z  (x x)y  y .唯一性是加法适合交换律的推论. (b) 由0x  (00)x  0x 0x 和(a)部分即得0x  0;再由0(0 0) 00和(a) 部分就得到0 0. (c)作为标量乘法是双线性的推论得到: 2A  A A.一个简单的例子足以说明可能出现 2A  A A : X ,A {0,1} X . s t A A A A st,  0 (d)容易看出: .因此 是凸的当且仅当对所有 成立 st st s t , A A A st st s t 或者 ,这就是 , . A A A sAtA (st)A st,  0 st st {C : I} A  C B  C | |1 (e)设  是均衡集的一个族,   ,   .那么对每个满足 的 I I  都有 A  C  C  A B  C  C  B     ,     . I I I I 和 都是均衡的. 因此A B (f)设{C : I} C  C st  1 st,  0  是凸集的一个族,   .那么对每个满足 的 都有 I sCtC  sC  tC  (sC  tC ) (sC tC ),          