现代线性代数的历史.docVIP

历史现代线性代数的历史可以上溯到1843年和1844年。1843年，哈密顿发现了四元数。1844年，Hermann Grassmann 发表了他的著作 Die lineare Ausdehnungslehre。基本介绍线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表征。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。 现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。 作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。 向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。 我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。 用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它，解决它（必要时使用矩阵运算）的方法。是数学中最主要的应用之一。 一些有用的定理 ??每一个线性空间都有一组基。 ??对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA = I（I 是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵。 ??一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。 ??一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。 ??一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。 ??一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。 一般化和相关主题 线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。 ??模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。 ??多重线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。 ??在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。 所有这些领域都有非常大的技术难点。 参考文献 ??Grassmann, Hermann, Die lineare Ausdehnungslehre dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie, 1844. ??Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra 补充线性代数的发展（Linear Algebra）是代数学的一个分支，它以研究向量空间与线性映射为对象；由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词